小数老师说
之前有同学说小数老师发的题目太简单了，建议发一些难度大的题目，比如湖南湖北或者江苏的题目，小数老师相应你的建议，今天来一道江苏的题目，但是后面还是注重中档题目的，基础题目小数老师也会弄，我一直认为：基础打好了，难题也不难了哈！
（2015江苏）
已知函数
。
（1）试讨论
的单调性；
（2）若
（实数c是与a无关的常数），当函数
有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是
，求c的值。
很明显，函数定义域是R，导函数是二次能分解因式型的，下面就可以令导数为0，然后求根了，
令
，得
。
①当a=0时，f’(x)>0，所以f(x)在R上单调递增；
②当a>0时，x1>x2，
所以当
时，f’(x)>0，
当
时，f’(x)<0，
所以函数f(x)在区间
上单调递增，在
上单调递减。
③当a<0时，x1<x2，
所以当
时，f’(x)>0，
当
时，f’(x)<0，
所以函数f(x)在区间
上单调递增，在
上单调递减。
注意：当函数在两个不相邻的区间上单调时，这两个区间不能用∪表示，只能用“，或和”连接两个区间。
（2）由（1）得，当a≠0时，函数f(x)有两个极值，分别为f(0)=b=c-a,
,
并且此时函数是先增再减然后又增的函数，所以若函数f(x)有三个不同的零点时，只需要两个极值一个大于0，一个小于0，这样由零点的存在性定理，条件就满足了。
所以接下来继续分类讨论，
当a>0时，有f(0)<0,
>0,此时得到a的范围应该是
，
根据2个不等式，得
因为c-a<0，所以c<a，又因为a的范围是
，所以c≤1,
令
，此时g(a)在区间
上大于0，
因为g(a)在
单调递减，在
单调递增，所以要使g(a)在区间
上大于0，必须有
，所以得到c≥1;
同理，当a<0时，有f(0)>0,
<0，此时a的范围应该是（-∞，-3），
根据2个不等式，得
因为c-a>0，所以c>a，又因为a的范围是（-∞，-3），所以c≥-3,
令
，此时g(a)在区间（-∞，-3）上小于0，
因为g(a)在（-∞，-3）单调递增，所以要使g(a)在区间（-∞，-3）小于0，必须有g(-3) ≤0,所以得到-4 c 3≤0，所以c≤1.
综上所述，c=1
同学们可以根据小数老师的解题思路把步骤写出来哈！
点评
对于函数零点的问题，不管正向还是逆向，思路都是一致的，根据函数的导函数讨论函数单调性，然后找到极值，再根据函数的零点存在定理，找到符合题目条件的情况进行分析即可！思路还是比较清晰的，还是小数老师那句话，讨论函数的单调性是基础，一切的导数题目都不会脱离开这个基础的！加油吧！
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