黎曼猜想怎么来的（除了黎曼猜想山寨版）

本节我们来介绍 “豪华版” 的黎曼猜想。 所谓 “豪华版”， 顾名思义， 就是要比 “普通版” 更高一筹， 后者有的前者都得有， 而且还得有新东西。 对于数学命题来说， 这意味着得比原命题更强、 更普遍， 将原命题包含为自己的特例。 那样的命题如果成立， 原命题就自动成立， 但反过来则不然 (否则两者就等价了， 对不住 “豪华版” 这一光荣称号)。

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“豪华版” 黎曼猜想与上节介绍的 “山寨版” 黎曼猜想虽分属不同类别， 有一点却是共同的， 那就是都得从对黎曼 ζ 函数的变通入手， 因为黎曼猜想所关注的无非就是黎曼 ζ 函数非平凡零点那些事儿， 对它的各种变通， 归根到底也就是对黎曼 ζ 函数的变通。 只不过 “山寨版” 黎曼猜想中的黎曼 ζ 函数只需与普通黎曼 ζ 函数有抽象的对应即可， 而 “豪华版” 黎曼猜想中的黎曼 ζ 函数却必须将后者包含为自己的特例， 以保证猜想的 “豪华” 性。黎曼猜想的 “豪华版” 有不止一款， 我们将着重介绍其中有代表性的两款。

我们首先介绍一款较浅显的， 叫做广义黎曼猜想 (generalized Riemann hypothesis)。 当然， 这里所谓的 “浅显”， 绝不是指容易证明 (挂有 “黎曼猜想” 这一招牌的东西哪会有容易证明的？)， 而是指相对来说比较容易介绍。 这一 “豪华版” 黎曼猜想所采用的变通后的黎曼 ζ 函数叫做狄利克雷 L 函数 (Dirichlet L-function)， 它是一个级数的解析延拓， 那个级数叫做狄利克雷 L 级数 (Dirichlet L-series)，通常记为 L(s, χ_k)， 其定义是 (k、 n 为正整数)：

L(s, χ_k) = Σ_n χ_k(n) n^-s (Re(s) > 1)

读者们想必还记得， 普通黎曼 ζ 函数也是一个级数， 即 (n 为正整数)

ζ(s) = Σ_n n^-s (Re(s) > 1)

的解析延拓。 这个级数有一个不太常用的名称， 叫做 p 级数 (p-series)。 这个名称之所以不常用， 是因为它一般只表示 s 为实数的情形， 比上述 黎曼 ζ 函数的级数表达式的定义域小得多。 不过为行文便利起见， 我们在本节中将用它来称呼上述级数。

（狄利克雷。图片来自网络）

对比这两个级数， 不需要很厉害的眼力就可以看出两者的相似性， 以及狄利克雷 L 级数是 p 级数的推广这一表观特点——因为后者无非就是前者中各项系数 χ_k(n) 全都等于 1 的特例。 不过，要想确认这一表观特点， 必须得知道 χ_k(n) 的定义， 尤其是得知道 χ_k(n) 是否真的能全都等于 1， 因为 χ_k(n) 并不是任意的系数， 而是一组被称为狄利克雷特征 (狄利克雷 character) 的东西， 它们能否全都等于 1 不是可以随意假定的， 而必须是由定义来决定。 那么， χ_k(n) 的定义是什么呢？ 是由以下三个条件共同构成的 (k 为正整数， m、 n 为整数)：

1. 对一切 n， χ_k(n) = χ_k(n k)，

2. 对一切 m 和 n， χ_k(m)χ_k(n) = χ_k(mn)，

3. 对一切 n， 若 k 和 n 互素， 则 χ_k(n) ≠ 0， 否则 χ_k(n) = 0。

由上述定义不难证明， 对一切 n， χ₁(n) = 1。 因此 χ_k(n) 全都等于 1 的确是 χ_k(n) 的一组可能的取值 (即 k=1 的特殊情形)。 这表明狄利克雷 L 级数确实是 p 级数的推广。 当然， 这也意味着作为相应级数解析延拓的狄利克雷 L 函数是黎曼 ζ 函数的推广。

与 p 级数在 Re(s)>1 的区域内可以写成连乘积表达式 (即 欧拉乘积公式) 相类似， 狄利克雷 L 函数在 Re(s)>1 的区域内也可以写成连乘积表达式：

L(s, χ_k) = Π_p[1-χ_k(p)p^-s]^-1

其中右边的连乘积针对所有的素数进行。 与 黎曼 ζ 函数及 欧拉乘积公式 包含了素数分布的信息相类似，狄利克雷 L 函数及上述连乘积表达式可以用来研究算术级数 (arithmetic progression) 中的素数分布。 1837 年， 德国数学家约翰·狄利克雷 (1805-1859) 进行了那样的研究， 得到了所谓的狄利克雷算术级数定理 (Dirichlet 's theorem on arithmetic progressions)。 他那项研究在数论历史上有着重要地位，被视为是解析数论 (analytic number theory) 这一分支领域的开山之作。 正是为了纪念狄利克雷的重大贡献， 人们以他的名字命名了狄利克雷 L 级数、狄利克雷 L 函数、 以及狄利克雷特征等术语。

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可以证明，狄利克雷 L 函数作为狄利克雷 L 级数的解析延拓， 与黎曼 ζ 函数一样， 是复平面上的亚纯函数。 狄利克雷 L 函数与黎曼 ζ 函数的相似性是相当广泛的， 比如它也满足类似于黎曼 ζ 函数所满足的那种函数方程。 此外，狄利克雷 L 函数的零点也有平凡与非平凡之分，非平凡零点也全都位于 0<Re(s)<1 的带状区域 (即临界带) 内。 而所谓的广义黎曼猜想，则是宣称狄利克雷 L 函数的所有非平凡零点也全都位于 Re(s)=1/2 的直线 (即临界线) 上， 即：

广义黎曼猜想： 狄利克雷 L 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

由于狄利克雷 L 函数是黎曼 ζ 函数的推广， 因此广义黎曼猜想显然是黎曼猜想的推广。 在所有 “豪华版” 黎曼猜想中， 广义黎曼猜想是被引述得最为广泛的， 有大量数学命题的成立是以这一猜想的成立为前提的。 不仅如此， 与 黎曼猜想的成立可以给出对素数分布的最佳估计相类似， 广义黎曼猜想的成立可以给出对算术级数中的素数分布的最佳估计。

（理查德·戴德金。图片来自网络）

我们要介绍的第二款 “豪华版” 黎曼猜想叫做扩展黎曼猜想 (extended 黎曼 hypothesis)， 它所采用的变通后的黎曼 ζ 函数则叫做戴德金 ζ 函数 (Dedekind zeta function)， 是以德国数学家理查德·戴德金 (1831-1916) 的名字命名的。 这一函数也是一个级数的解析延拓， 只不过该级数的定义是需要多费一些口舌才能介绍清楚的。 我们先把定义写下来：

ζ_K(s) = Σ_I N(I)^-s (Re(s) > 1)

粗看起来， 这个定义并不复杂， 与普通黎曼 ζ 函数的 p 级数表达式相比，只不过是在左侧的函数名称上添了一个下标 K， 把右侧级数中的 n 换成 N(I)， 再把对 n 的求和换成了对 I 的求和而已。不过，这种简单性纯粹是数学符号的简洁性带来的幌人耳目的表面现象。 事实上，这里的每一处看似细小的差别，即 K、 I 和 N(I) 的背后都大有文章。 我们先把它们的名称写下来， 让大家感觉一下它们一个比一个递进的陌生性。 它们的名称是什么呢？

§ K 是数域；

§ I 是数域 K 的整数环的非零理想；

§ N(I) 是数域 K 的整数环的非零理想 I 的绝对范数。

如果你不是很熟悉代数学的话， 上面这些名称看了估计就跟没看一样——如果不是更犯晕的话。 数学是一个高度抽象的领域， 试图了解一个陌生数学分支中的概念， 有时就像初学英语者拿着英-英词典 (English-English dictionary) 查找单词一样， 往往在查找到的解释之中又夹杂着新的陌生词汇， 大有发生 “链式反应” (chain reaction) 之势。 上面的努力就是一个例子， 我们想知道什么是戴德金 ζ 函数， 于是查找到它的级数表达式， 但在级数的定义中却冒出了诸如 “数域” (number field)、 “整数环” (ring of integer)、 “理想” (ideal)、 “绝对范数” (absolute norm) 之类的陌生名称。 而为了解释这些陌生名称， 天知道会不会遇到其它陌生名称。 但既然我们已决定要介绍 “豪华版” 的黎曼猜想， 就只好硬着头皮一个一个啃下去了。

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先说说 “数域” 这个概念。 这是一个相对简单的概念， 对多数读者来说，可能是上述诸名称中唯一一个眼熟的概念， 尤其是我们在第三十二节中还刚刚介绍过什么是 “域”。 但简单归简单， 它却也没有简单到可以望文生义成 “数字组成的域” (否则它跟 “域” 基本就是一回事了)。 那么，究竟什么是数域呢？它是有理数域 (field of rational numbers) 的有限次代数扩张域 (finite algebraic extension field)。

果然，不解释还好， 一解释 “链式反应” 就又来了： 什么是有理数域的 “代数扩张域”？ 什么又是 “有限次” 代数扩张域呢？ 所谓有理数域的代数扩张域， 指的是那样一个域， 其中所有元素都是系数为有理数的代数方程的解。 那样的元素 (即数域中的 “数”) 被称为代数数 (algebraic number)， 而数域本身则因此也被称为代数数域 (algebraic number field)。 数域的一个很简单的例子是所有形如 a b√2 (a, b 为有理数) 的数构成的域 (请读者自行证明这样的数构成一个域， 并且每个这样的数都是一个系数为有理数的代数方程的解)。 a b√2 这一形式让人联想起向量空间 (vector space) 中用一组基 (basis) 表示向量的做法——其中 1 和 √2 扮演基的作用， a 和 b 则是任意向量在该组基下的分量。 这种从向量空间角度看待代数扩张域的做法有一定的普适性， 相应的向量空间的维数 (对 a b√2 这一例子来说是 2) 称为代数扩张域的度数 (degree)。 度数有限的代数扩张域就称为有限次代数扩张域。 这样我们就解释了什么是有理数域的有限次代数扩张域， 即数域了。

接下来说说数域的 “整数环” 这一概念。 要说整数环， 首先得说说 “整数”， 因为这里所谓的整数并不仅仅是大家在小学课上学过的那些整数， 而是所谓的代数整数 (algebraic integer)。 我们上面说过， 数域中的元素都是代数数， 即系数为有理数的代数方程的解。 如果那代数方程的系数不仅为有理数， 而且是整数， 并且首系数 (即幂次最高项的系数) 为 1， 那么它的解就是所谓的代数整数。 粗看起来， 这种数跟整数似乎没什么共同点，它们为什么被称为代数整数呢？ 原因有好几条：

§ 首先， 所有普通整数都是代数整数。

§ 其次， 所有代数数都可以表示为代数整数的商， 就如同所有有理数都可以表示为普通整数的商。

§ 最后， 代数整数与普通整数一样， 对加法、 减法和乘法封闭， 但对除法不封闭 (即两个代数整数的商未必仍是代数整数)。

可以证明， 一个数域中的所有代数整数构成一种特殊的代数结构， 叫做环 (ring)。 环这一概念是戴德金提出的 (名称则是希尔伯特引进的)， 它是一种其定义比域更简单的结构， 相当于在域的定义中去除了乘法交换律， 及每个非零元素存在乘法逆元素这两个要求。 由一个数域 K 中的所有代数整数构成的环就叫做该数域的整数环。 作为一个例子，如果数域是有理数域， 则可以证明代数整数正好就是普通整数 (事实上，对任意数域，一个代数整数如果是有理数，它就必定是一个普通整数)， 而整数环则恰好就是全体整数的集合，即整数集。

（希尔伯特。图片来自网络）

说完了整数环， 再说说整数环的 “理想”。 这 “理想” 当然绝不是中国大陆读者们从小耳熟能详的 “无产阶级革命理想” 之类的东西， 而是一个不折不扣的数学概念。 这个概念也是戴德金提出的， 是环的一种子集， 是对德国数学家恩斯特·库摩尔 (Ernst Kummer，1810-1893) 早些时候提出的一个叫做 “理想数” (ideal number) 的概念的推广 (其名称也由此而来)。

对于我们所讨论的情形来说， 理想是整数环的一个子集， 对加法、 减法和乘法封闭， 包含零元素， 并且它的任意元素与整数环的任意元素的乘积仍在该子集内。 从某种意义上讲， 理想这个概念跟 “0” 这个概念有一定的相似性， 因为 0 乘以任何数仍然是 0， 与理想所满足的 “它的任意元素与整数环的任意元素的乘积仍在该子集内” 相似。 事实上， 以 0 为唯一元素的子集确实是任何环的理想， 称为零理想 (zero ideal)， 而理想这个概念与 0 之间的相似性， 则可以用来对环中的元素进行约化， 即通过把理想视为广义的 0， 把通常建立在两个元素之差等于 0 基础上的元素相等概念中的 0 换成理想， 而对环中的元素进行分类 (大家很快就会看到一个例子)。

一个环的理想是不唯一的 (否则戴德金 ζ 函数的级数表达式中对理想 I 的求和就没什么意义了)， 比如对于整数集 (即有理数域的整数环) 这一特例来说， 所有形如 {... -2n, -n, 0, n, 2n, ...} (n 为非负整数) 的集合都是理想 (请读者们依据理想的定义予以验证)， 这种集合通常被记为 nZ (Z 是表示整数集的符号)， 整数集的所有理想都具有这种形式。

最后要介绍的是理想的 “绝对范数”。 我们刚才说过， 从某种意义上讲， 理想这个概念跟 “0” 这个概念有一定的相似性。 这一点， 连同整数集的理想是 nZ (n 为非负整数) 这一结果， 使我们联想起 第三十二节中介绍过的模算术， 因为一个以 n 为模的模算术的基本特点就是 n 具有 0 的算术性质——比如在以 12 为模的模算术 (即刻度数目为 12 的 高斯时钟这一特例) 中， 12 具有 0 的算术性质。 事实上，不仅 n， 所有等于 n 整数倍的数， 即形如 ... -2n, -n, 0, n, 2n, ... 的数 (也就是理想 nZ 中的所有元素)， 在以 n 为模的模算术中都具有 0 的算术性质， 而任意两个其差等于这种数 (也就是属于理想 nZ) 的数则被视为相等， 这正是我们上面所说的用理想来对环中的元素进行约化的一个例子。

一般地讲， 用理想对一个环中的元素进行约化类似于模算术的推广， 即将两个数的相等定义为其差属于该理想。 那么什么是一个理想的绝对范数呢？ 它就是用该理想对环中的元素进行约化后不同元素的数目。 对于整数集的理想 nZ 这一特例来说， 约化后的不同元素只有 n 个， 即 0, 1, ..., n-1 (这也正是相应的高斯时钟的刻度数目)， 因此该理想的绝对范数是 n。

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这样， 我们就走马观花般地完成了对戴德金 ζ 函数的级数表达式的介绍。 不仅如此， 在介绍的过程中——不知读者们有没有意识到——我们其实已完成了对 K 为有理数域这一特例下戴德金 ζ 函数的计算！ 计算的结果是什么呢？ 让我们来挑明一下：

§ 首先， 在介绍整数环时我们说过， 有理数域 K 的整数环恰好就是整数集；

§ 其次， 在介绍理想时我们说过， 整数集的理想 I 全都是形如 nZ 的集合；

§ 最后， 在介绍绝对范数时我们说过， 理想 nZ 的绝对范数是 n。

把这些结果合并起来， 我们可以看到， 对于 K 为有理数域这一特例， Dedekind ζ 函数中对非零理想 I 的求和实际上是对正整数 n 的求和 (因为 n=0 所对应的是零理想， 从而被排除)， 而相应的绝对范数 N(I)=n， 因此 Dedekind ζ 函数的级数表达式可以写成 (其中数域 K 的符号被换成了有理数域的符号 Q)：

ζ_Q(s) = Σ_n n^-s (Re(s) > 1)

这个表达式大家一定认出来了， 它就是普通黎曼 ζ 函数的级数表达式 p 级数。 因此， ζ_Q(s)=ζ(s)， 这表明 黎曼 ζ 函数是戴德金 ζ 函数的特例， 而戴德金 ζ 函数与 狄利克雷 L 函数一样， 是 黎曼 ζ 函数的推广。 与后两者一样，戴德金 ζ 函数也可以写成类似 Euler 乘积公式 的连乘积表达式：

ζ_K(s) = Π_P[1-N(P)^-s]^-1

其中连乘积所针对的是所谓的 “素理想” (prime ideal)， 通常表示为 P。 这里我们不幸再次遇到了 “链式反应”， 即 “素理想” 这一概念。 什么是素理想呢？ 对于我们所讨论的情形来说， 它是这样一种理想， 如果整数环中的两个数的乘积在该理想之中， 那么两个数中至少有一个数本身就在该理想中。 对于有理数域的整数环——即整数集——来说， 一个理想 nZ 为素理想当且仅当 n 为素数。 显然， 在这种情况下， 上述连乘积公式完全等同于 欧拉乘积公式 (因为对素理想 P 的求积就是对素数 p 的求积)。

当然， 以上介绍的还只是戴德金 ζ 函数在 Re(s)>1 上的级数表达式。 不过与 狄利克雷 L 函数一样， 它也可以被解析延拓为整个复平面上的亚纯函数， 而且也满足类似于 黎曼 ζ 函数所满足的函数方程。 这些结果是德国数学家 (又是德国数学家， 本节几乎从头至尾都在介绍德国数学家的成果) 埃里克·赫克(Erich Hecke,1887-1947) 所证明的。 不仅如此，戴德金 ζ 函数的零点也同样有平凡与非平凡之分，非平凡零点全都位于 0<Re(s)<1 的带状区域 (即临界带) 内。有了这些结果，扩展黎曼猜想的表述也就一目了然了，那就是：

（埃里克·赫克。图片来自网络）

扩展黎曼猜想： Dedekind ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

由于戴德金ζ 函数是 黎曼 ζ 函数的推广， 因此扩展黎曼猜想也显然是黎曼猜想的推广， 从而是 “豪华版” 的。

从上面的介绍中我们看到， 广义黎曼猜想与扩展 黎曼猜想作为普通 黎曼猜想的推广， 是建立在对黎曼 ζ 函数的两种不同推广之上的， 前者是狄利克雷 L 函数，后者则是 戴德金 ζ 函数。 我们还看到， 无论狄利克雷 L 函数还是戴德金 ζ 函数， 都与普通 黎曼 ζ 函数有着极大的相似性。 这种令人瞩目的相似性也许会启示读者问这样一个问题， 那就是这些彼此相似的函数是否可以被统一起来， 纳入一个更宏大的框架中， 成为一类更广泛的函数的特例呢？ 这是一个好问题， 它的答案是肯定的。 事实上，狄利克雷 L 函数与 戴德金 ζ 函数都是一类被称为自守 L 函数 (automorphic L-function) 的涵盖面更广泛的函数的特例。

大家也许还会进一步问： 自守 L 函数是否也有相应的 “豪华版” 黎曼猜想呢？ 这也是一个好问题， 它的答案也是肯定的。 这种涵盖面更广泛的函数也有一个 “豪华版” 的黎曼猜想， 堪称是 “史上最豪华” 的黎曼猜想， 它的名字很气派， 叫做 “大黎曼猜想” (grand Riemann hypothesis)。 不过，自守 L 函数这一概念所牵涉的 “链式反应” 十分剧烈， 而建立在这一概念之上的大黎曼猜想的应用却极少 (这种应用的多寡主要体现在有多少数学命题以假定其成立为前提)， 我们就不详加介绍了。 在这里，我们只把大黎曼猜想的内容叙述一下 (其实不叙述大家应该也已不难猜到)， 那就是：

大黎曼猜想： 自守 L 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

当然， 这里的 “非平凡零点” 仍是指位于 0<Re(s)<1 (即临界带) 内的零点。 大 黎曼猜想包含了普通 黎曼猜想、 广义黎曼猜想、 扩展黎曼猜想、 以及若干有名字或没名字的其它 “豪华版” 黎曼猜想为其特例， 它若能被证明， 则黎曼猜想这一研究领域几乎就被一锅端了。 不过从目前的情况来看， 我们距离这一天还差得很远。 事实上， 别说是大黎曼猜想， 有关自守 L 函数的许多简单得多的性质， 比如它的解析延拓及函数方程等， 也都还是未被普遍证明的东西。

（摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，作者：卢昌海）

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