数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(1)

数学培优——几何最值问题的解法

在运动中求几何量最大值或最小值的问题是各类考试中常见的问题,如何解决这类问题呢?下面介绍几种解法:

一、利用图形的直观性

例1 如图1,将两张长为4,宽为L的矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的最大值是____

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(2)

分析与解:要使菱形的周长最大,只需要使边长最大,因此,应最大限度利用矩形的长.从图形的直观性不难发现:当菱形的两个对角的顶点分别与矩形两个对角的顶点重合时,就是最大限度地利用了矩形的长,所得菱形的边长最大.此时易知图1-2中,

△ABC≌△EDC,所以AC=CD,BC=CE.

设BC=x,则在RT△ABC中,AC=AE-CE=4-x,

根据勾股定理得:x²=(4-x)²+1,

解得x=17/8,

所以菱形周长的最大值为4×17/8=17/2.

友情提示:几何的最大特征与优点是直观,图形的直观性在解题中十分重要,细致观察图形,想象在运动变化中图形可能出现的情形往往能使问题的解决从“山穷水尽疑无路”困境中浮出,从而走向“柳暗花明又一村”,找到或者发现问题解决的契机与灵感.

二、利用两点之间线段最短

例2 如图2,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一个点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )

A.130° B.120° C.110° D.100°

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(3)

分析与解:欲求∠AMN+∠ANM的度数,关键在于确定点M、N的位置.

由于M、N的位置使得△AMN周长最小,

即MA+MN+NA最小,

分别作点A关于BC的对称点E,点A关于CD的对称点F,

连接EF分别交BC于M,交CD于N.

则MA=ME,NA=NF,

从而△AMN的周长=MA+MN+NA=ME+MN+NF,

问题转化为:分别在BC、CD上确定点M、N,

使得ME+MN+NF最小.

由于E、F是定点,当M、N都在直线E、F上时,

ME+MN+NF=EF为最小,

因此,连接EF,分别交BC、CD于M、N,

这就是M、N的位置.

此时,∠MAE=∠E,∠NAF=∠F,

所以∠AMN=2∠E,∠ANM=2∠F,

所以∠AMN+∠ANM=2(∠E+∠F)

=2(180°-∠BAD)

=2(180°-120°)=120°.

选B.

友情提示:分别在直线L1、L2上求一点P、Q,使得以P、Q和定点A为顶点的△APQ的周长PA+QA+PQ最小,其做法是:寻找或作出点A关于直线L1和L2的对称点A1和A2,连接A1A2,分别交直线L1、L2于点P、Q,则点P、Q就是所求作的点.

例3 如图3,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为_______.

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(4)

分析与解:显然,A、B、C、D都是动点,直接考虑DO的长与已知矩形ABCD的边长的关系是不可能的.

由于矩形在运动过程中形状不变,所以AB总是等于2,

注意到∠AOB=90°,故AB的中点到O的距离总是等于AB/2=1,

因此,取AB的中点E,连结OE、DE、OD,

则OE=1(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

由勾股定理,得DE=√2,

从而DE+EO=√2+1.

由于当D、E、O三点不在同一直线上时,总有DO<DE+OE,

故当D、E、O三点共线时,

OD=OE+DE为最大,等于√2+1.

因此,当矩形运动到点D、AB的中点E和点O三点共线时,

点D到点O的距离最大,为√2+1.

友情提示:对于任意三点A、B、C,总有AB≤BC+CA,当A、B、C三点共线时,等号成立,AB取最大值.求动点到定点距离最大值问题往往就是根据这个原理.

三、利用垂线段最短

例4 以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是________.

分析与解:根据题意画出如图4,由题意,点A、B都是动点,

由勾股定理,得AB=√(OA2 OB2),

能否进一步转化呢?

考虑已知条件,由四边形CDEF为正方形,得

OC=OD,∠OCA=∠ODB=45°,∠COD=90°,

由∠AOB=90°,得∠COA=∠DOB,

所以△COA≌△DOB,

所以OA=OB,△AOB为等腰直角三角形,

故可将AB进一步转化为AB=√2OA,

问题转化为确定点A的位置,使得OA最小.

由于O是定点,A在定直线CD上,

所以当OA垂直于CD时,垂足就是点A的位置.

因此,作OA⊥CD于A,此时OA=1,

从而AB=√2,故线段AB的最小值为√2.

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(5)

友情提示:直线上的动点到定点的距离最小值是该定点到该直线的垂线段长.

例5 如图5,正方形ABCD中,AB=1,P是AC上的动点,则PA PB PD的最小值是__________.

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(6)

分析与解:显然,PB=PD,

所以PA PB PD

=PA 2PD=2(PA/2 PD),

接下来设法将PA/2转化为一条新的线段.作∠CAE=30°,CE交BC于E,作PF⊥AE于F.

则PF=PA/2,于是

PA PB PD =2(PF PD)≥2DF.

所以当DF⊥AE时,PA PB PD=2DF最小.

在RT△ADF中,∠DFA=90°,∠DAF=75°,AD=1,

由sin75°=sin(30° 45°)

=sin30°cos45° cos30°sin45°

=(√2 √3)/4,

所以DF=ADsin75°=(√2 √3)/4.

友情提示:几何中的ax y(a为常数,x,y为图中的动线段)最小值问题的解法,关键在于寻找与ax相等的线段z,将问题转化为z y最小值问题.

四、利用平行距离最小

例6 已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.

问题1:如图6-1,P为AB边上一点,以PD、PC为边做平行四边形PCQD,请问对角线PQ、DC的长能否相等,为什么?

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(7)

问题2:如图6-2,P为AB边上任意一点,以PD、PC为边做平行四边形PCQD,请问对角线PQ,的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由;

问题3:P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,以PE、PC为边做平行四边形PCQE,请探究对角线PQ,的长是否也存在最小值?若果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由;

问题4:如图6-3,P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=NPA,(N为常数)以PE、PB为边做平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?若果存在,请直接写出最小值;如果不存在,请说明理由.

分析与解:问题1:假设对角线能相等,即PQ=CD,

则四边形PCQD是矩形,

所以∠DPC=90°,

因为AD=1,AB=2,BC=3,

所以DC=√[(3-1)2 22]=2√2,

设PB=x,则AP=2-x,

在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,

即x2+32+(2-x)2+1=8,

化简得x2-2x+3=0,

因为△=(-2)2-4×1×3=-8<0,

方程无实数根,所以对角线PQ、DC的长不可能相等;

问题2:显然,PQ的长与点P的位置有关,要判断PQ是否存在最小值,关键在于确定点Q在什么线上运动?

过点Q作BC的垂线L,交BC延长线于点H.

则L∥AB.因为AD∥BC,

所以∠ADC=∠DCH,

即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH,

因为PD∥CQ,所以∠PDC=∠DCQ,

所以∠ADP=∠QCH,又PD=CQ,

所以RT△ADP≌RT△HCQ,

所以AD=HC.

因为AD=1,BC=3,

所以BH=4,

可见,直线L是定直线.由于点P、Q分别在距离为4个单位的两条平行线上运动,

所以当PQ⊥AB时,PQ的长最小,为4;

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(8)

问题3:类似问题2的探索.如图/6-4,过Q作L⊥BC,垂足为H.

则L∥AB.设PQ与DC相交于点G.

仿照问题2可得∠ADP=∠QCH,

所以RT△ADP∽RT△HCQ,

所以AD /GH=PD/CQ=1/2,

所以CH=2,

所以L是定直线,BH=BC+CH=3+2=5,

可见,点P、Q分别在距离为5个单位的两条平行线上运动,

所以当PQ⊥AB时,PQ的长最小,为5;

问题4:仿照问题3的探索,易知PQ存在最小值,最小值为√2(n+4)/2.

友情提示:平行距离指的是平行线之间的距离,该距离是分别在两平行线上的动点之间距离的最小值.

五、利用二次函数的最值

例7 如图7,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于点E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).

(1)当=60°时,求CE的长;

(2)当60°<α<90°时,

①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;

②连接CF,当CE2-CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.

数学分析最值问题(数学培优几何最值问题的解法)(9)

分析与解:(1)因为△BCE是直角三角形,且α=60°,BC=10,

故由勾股定理和三角函数立得BE=BC/2=5,

从而CE=√(102-52)=5√3;

(2)先设存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF,再探索求k的值.

既然∠EFD是∠AEF的整数倍,先从∠EFD中割分出一个与∠AEF相等的角,

因此,作FM∥AB交BC于M,交CE于N,

则∠1=∠AEF.

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以四边形ABMF是平行四边形,

所以BM=AF=5,从而MC=FD=5,

四边形MCDF是平行四边形,又DF=DC,

所以四边形FMCD为菱形.

连接CF.则∠2=∠3;

因为CE⊥AB,FM∥AB,M为BC的中点,

所以FM为EC的垂直平分线,

所以EF=FC,∠2=∠1,

所以∠EFD=3∠1.

又∠AEF=∠1,

所以∠EFD=3∠AEF,故k=3;

②欲求tan∠DCF的值,由于∠DCF =∠2,所以关键确定当CE2-CF2取最大值时,CN、FN的值.因此,问题转化为CN或FN究竟为何时,CE2-CF2取最大值?为解决这个问题,考虑建立CE2-CF2关于某个变量为自变量的二次函数,再由二次函数的最值确定自变量的值.

因为MN为△CEB的中位线,

所以BE=2MN.设MN=x,

则BE=2 x,FN=5-x;

在Rt△EBC中,

CE2=BC2-BE2=100-4x2;

在Rt△FNC中,

CF2=FN2+NC2=(5-x)2+25-x2=50-10x.

所以CE2-CF2=(100-4x2)-(50-10x)

=-4x2+10x+50=-4(x-5/4)2+225/4,

故当CE2-CF2取最大值时,x=5/4,

所以CN=√[25-(5/4)2]=5√15/4,

FN=5-5/4=15/4,

所以tan∠FCD=TAN∠2=5√15/4÷15/4=√15/3.

友情提示:二次函数取最大值或最小值时,自变量的取值是唯一确定的,因此,由函数取最大值或最小值的情形同样可以确定自变量所对应的值.

,