一道求三角形边长的题
在三角形ABC中， AB=86， AC97， 一个以A为圆心， AB长为半径的圆交于BC点X， 且BX和CX有整数长度，BC的长是多少？
解： 根据题意画出草图如下，显然AX=86，让BX=x, CX=y,
在三角形ABX中利用余弦定理：
在三角形AXC中利用余弦定理：
两个式子相减有：
此外根据等腰三角形ABX有
cosα=x/172
带入上面的式子有：
（97 86）(97-86)=(x y)y
即：
183x11=(x y)y
因为x和y都是整数，现在考察y能否等于11，如果y=11, 那么因为AX=86，则有
AX CX=86 11=97=AC，不满足三角形AXC的构成条件，即两边之和大于第三边，所以y不能等于11，
又有183x11=61x33=(x y)y
且61是质数，所以仅有一种可能：
有y=33, x y=61,
因此x=61-33=28,
所以BC的长度为61.
解法2：利用圆的割线定理，如下图：
由于：
这样：
会有四对组合：
因为CX>13, 所以只有：
CX XB=61
后记：上面提到的割线定理是初中几何中可以很容易证明的一个定理，利用两个三角形相似即可证明，参见下图。
