目前理论研究最完善的是简单应力下的平直单一裂缝模型，裂缝扩展形态近似于一对平行板，裂缝面垂直于最小主压应力，这是所有理论模型的前提条件。
最早是PKN[1-2]、KGD[3-4]和Penny-shap(or Radial) [5]模型，如图1.1所示，反映无限大各向同性介质中裂缝横截面轮廓的扩展变化与流体压力的时空对应关系，称为2D模型。该类模型的提出，得益于1946年断裂力学先驱Sneddo和 Green提出的内压条件下Griffith裂纹的张开位移解[6]，以及扁平圆形或椭圆裂纹端部应力解[7-8]。2D模型定义的流体方向只沿裂缝长度方向，只能反映长度扩展过程中宽度变化，其本质是一维问题。而实际的垂向裂缝在沿侧向水平扩展时，裂缝高度也要发生变化，而PKN模型假设了高度不变。所以2D模型应用受限。
水力压裂力学模型
上世纪80年代Pseudo-3D（简称P3D）模型[9-10]在改进PKN模型基础上应用而生。P3D与2D模型的区别是流体可以沿裂缝高度方向流动，它不仅可以反映裂缝长度增长过程中宽度的增加，而且可以模拟裂缝高度的变化。在三分层岩层中，裂缝传播不限于储层高度，可以进入顶、底板围岩，只不过其垂直进入上、下围岩的速度远小于侧向水平扩展的速度，所以，裂缝总体上是长度大于高度。可见P3D在模拟竖向上任意的裂缝形状受到限制。在此背景下Planar3D（简称PL3D）模型[11-12]应用而生，PL3D以精细的网格（Fixed or moving）划分精确地模拟裂缝高度变化。
上述模型的共同特点是，水压裂缝视为单一裂缝，裂缝面似一对平行平板，其数学模型是一个边界不断移动的边初值问题，求解断裂前缘（footprints）、裂缝宽度、流体压力等关于时间和空间的函数。这类问题求解的难度在于裂缝弹性响应与流体压力的多 尺度耦合以及裂缝前缘的动力学问题，涉及流体粘性、裂尖韧性、介质渗透性等材料属性，以及流体前缘（fluid front）相对裂尖前缘（fracture front）的滞后（lag）和合并（front coalence, zero lag）所带来的多种裂尖传播机制，对这些问题的理论分析倾注了大量数学力学家的智慧和心血。
P3D和PL3D模型的数值求解主要采用DDM(Discontinual Displacements Method)方案[13-18]，始于Shah RC and Kobayashi（1971）[19]的工作，将流体压力表示为两个平面坐标的三阶多项式，将其代入流体Positive连续性方程，通过Raylsigh-Ritz 方法得到该微分方程的一阶变分方程等效的代数方程，求得流体压力表达式的各项系数。此后，巴西Estadual大学Garcia(1997)[20]等人的工作也采用类似的方法。美国科学家Adachi（2010）[21]则是利用Green函数表示的弹性平衡关系，将流体压力和裂缝高度表示为裂缝宽度的函数，从而将裂缝面扩展转变为两点间边值问题，并采用4阶配分方案进行数值计算。
水力压裂一系列重要问题的解决当推Peirce教授（University of British Columbia，Canada）的工作。Peirce(2009)[22]提出均匀渐近分析(Uniform Asymptotic Analysis method )方法解决裂尖耦合的多尺度动力学问题，此后Peirce（2015）[23]提出隐式水平设置算法（Implicit level set algorithm，ILSA），用于裂尖耦合问题中的裂缝前缘定位问题，利用该算法无需使网格大小匹配最小尺度的力学行为，也无需对网格重新划分以适应时间和空间尺度的变化，ILSA方法利用裂缝尖端局部速度自动识别裂尖渐近行为的主导区尺度，通过主导区单元宽度积分，利用该值对所有裂尖单元进行设置以达到识别裂缝边界。
几乎与P3D和PL3D同时，康奈尔大学开始了全3D模型（Full3D）研究，编制了数值程序FRANC3D[24]。裂缝由成对的平行板单元拼接而成，每个单元包含板几何和拓扑信息，根据流体压力和应力方向，这些平行板可以拼接为裂缝交叉、分支以及融合。 2000年康奈尔大学Carter et al[25]更新了Full3D数值方法，编制新的计算程序HYFRANC3D。采用边界元计算弹性响应，有限元计算流体运动，可以反映裂缝在井边扭转、弯曲和转向。显然，在裂缝单元没有流体压力与裂缝张开度的设置，所以模拟结果未见裂缝扩展过程中流体压力的变化。
近年来，一些大型通用数值计算程序被用来计算水压裂缝的扩展。 Cohesive-FEM用于水力压裂模型，是根据Barrenblatt and Dugdale提出的断裂前缘粘聚区（Cohesive Zone）模型，通过定义预设界面单元张开位移与张拉力的关系，并逐步迭代，实现水压裂缝扩展，计算在大型有限元软件ABAQUS平台上实现。值得注意，所计算裂缝扩展方向需要提前预设，这与前已述及的2D，P3D以及PL3D模型一样，属于单一预设裂缝，因此，它的使用范围受到限制，只能适用简单应力水平岩层。这方面的工作有澳大利亚CSIRO的Chen zuoran（2009）[26]，以及国内的薛炳, 张广明,刘合，王瀚，彪仿俊, 刘合，张士诚，潘林华，张士诚，张劲，张汝生，王强，张祖国等的工作[27-32]。
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