角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
初中的证明方法最常见的有两种
方法一：面积法
过D作AB、AC边上的高DE、DF，则DE=DF。
所以S△ABD：S△ACD=AB：AC
由于BD与CD在同一条直线上，所以S△ABD：S△ACD=BD：CD
所以AB：AC=BD：CD或写成AB：BD=AC：CD
方法二：角平分线 平行，出等腰
过B作BE∥AC交AD延长线于E，则∠E=∠BAD，BE=AB，
根据△ADC∽△EDB，可得BE：AC=BD：CD，即AB：AC=BD：CD
或过B作BE∥AD交CA延长线于E，则∠E=∠CAD=∠BAD=∠ABE，AE=AB，
可得AE：AC=BD：CD，即AB：AC=BD：CD
下面是练习题，考试解答题中使用需要先证明一下角平分线定理。
①如图，CD是△ABC的外角∠ACE的角平分线，交BA延长线于D，求证 AC：BC=AD：BD
②如图，直线 y=4/3 x 4 与y轴、x轴的交点为A、B，点O是原点，若∠ABO的角平分线BC交y轴于点C，求点C的坐标。
③等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，点P以1单位/秒的速度从B沿BA运动到A，点Q同时以2单位/秒的速度从B沿BC运动到C，若存在时间t，使△PQC沿CP折叠后点Q落在线段AC上，求此时CQ的长。
④平面直角坐标系中，点A(1，0)，点B(-3，0)，点O是原点，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标。
⑤如图△ABC与△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点E在BC上，且BE=2CE，DE交AB于F，若AE=2，求△ADF的面积。
⑥如图，D是AB上一点，把△ABC沿CD折叠，则点A恰好落在BC边上的点E处，已知AD=3，BD=7，CE=6，点P是线段CD上的动点，求△BEP周长的最小值。
需要PDF打印版找up领取。
以下是练习题的答案与解析，解题方法多种多样，仅供大家参考。
①答案：简证如下
BC延长线上任意一点E，连接DE，
则S△ACD：S△CED=AC：CE，
S△CED：S△BCD=CE：BC，两个等式相乘可得S△ACD：S△BCD=AC：BC
又因为S△ACD：S△BCD=AD：BD
所以AC：BC=AD：BD，即外角平分线定理
※也可以用作平行线的方法证明
②答案：(0，3/2)
易知点A(0，4)，点B(-3，0)，AO=4，BO=3，AB=5
根据角平分线定理，AC：CO=AB：BO=5：3
所以CO=3/8AO=3/2，点C(0，3/2)
③答案：6/11
△PQC沿CP折叠后点Q落在AC上，可知CP平分∠ACB。
BP=t，AP=5-t
根据角平分线定理，BC：AC=BP：AP，即6：5=t：(5-t)，解得t=30/11，此时BQ=60/11，所以CQ=BC-BQ=6/11
④答案：(3/2，3/2)
根据角平分线定理，可知BP：AP=BO：AO=3，所以BP=3AP，BP²=9AP²。
设点P(a，a)，利用两点距离公式或勾股定理，根据BP²=9AP²列方程
(a 3)² a²=9(a-1)² 9a²，解得a=0(舍)，或a=3/2，所以点P(3/2，3/2)
⑤答案：2/3
容易看出是一个手拉手模型，连接BD，则△ADB≌△AEC，BD=CE，∠ABD=∠C=∠ABC，所以AB是∠DBE的角平分线。
根据角平分线定理，DF：EF=BD：BE=1：2，
所以S△ADF的面积是△ADE面积的1/3，
S△ADE=AE²÷2=2，所以S△ADF=2/3
⑥答案：18
点A与点E关于CD对称，CD是角ACB的角平分线，AC=CE=6，AP=EP。
△BEP中BE是定值，BP EP=BP AP≥AB=10
根据角平分线定理，AC：BC=AD：BD，求得BC=14，所以BE=8，
△BEP周长的最小值是18。
♡♡♡感谢大家的支持♡♡♡
,
