【分析方法导引】
当几何问题中，出现了角平分线和向角平分线所作的垂线的时候，就要想到可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。
若角平分线的垂线没有过角的顶点时，可直接将角平分线的垂线延长到与角的两边相交，构成等腰三角形中重要线段的基本图形，然后再应用一次轴对称型全等三角形来完成分析。
若角平分线的垂线经过角的顶点时，则应将角平分线的垂线平行移动，使它离开角的顶点，然后再与角的两边相交构成等腰三角形中的重要线段的基本图形。
例11 如图3-150，已知：△ABC中，AD是高，AE是角平分线，F是BC的中点，CG⊥AE，BH⊥AE，垂足分别为G、H。求证：D、G、F、H四点共圆。
图3-150
分析：由条件AE是角平分线和CG⊥AE，就构成角平分线和向角平分线所作的垂线的组合关系，从而就必定得到一个等腰三角形的基本图形。由于这个等腰三角形是由角平分线AE的垂线CG和角的两边AB、AC相交得到的，而现在CG与AB尚未相交，所以应将它们延长到相交，也就是延长CG交AB于M（如图3-151），即可得△AMG≌△ACG，AM=AC和GM=GC。
图3-151
在得到G是CM的中点后，由于条件中该给出F是BC的中点，这样就出现了两个中点，是多个中点问题，所以可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明（如图3-152），于是可得GF∥MB，GF=1/2MB。
图3-152
由于本题要证明的结论是D、G、F、H四点共圆，是一个圆内接四边形也就是圆周角的基本图形的应用问题。由于这个圆周角的基本图形中，已经有一条边FG，所以应将相应的一条对边添上，于是联结HD（如图3-153），问题也就转化成要证∠GFD=∠GHD。而由GF∥MB。可得∠GFD=∠MBC，这样问题就又成为要证∠ABD=∠AHD，A、B、H、D四点共圆，而条件中已经给出AD⊥BD，AH⊥BH，所以分析可以完成。
图3-153
如果我们的分析是从AE是角平分线和BH是角平分线AE的垂线开始，那也可以用类似的方法完成分析。也就是由AE是角平分线，BH⊥AE，可得延长BH交AC的延长线于M后，有AB=AM，BH=MH。而由F、H分别是BC、BM的中点，可得联结FH后（如图3-154），有FH∥CM，∠HFD=∠ACB。而由∠ADC=∠AGC=90°，又可得A、G、D、C四点共圆，所以联结GD后有∠HGD=∠ACB，从而就可推得∠HFD=∠HGD，D、G、F、H四点共圆。
图3-154
例12 如图3-155，已知：△ABC中，MN是∠A的外角平分线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别是D、E，F是BC的中点。求证：FD=FE=1/2（AB AC）
图3-155
分析：本题条件中出现了AN是∠A的外角。也就是∠CAK的角平分线，且CE⊥AN是角平分线AN的垂线，所以可构成一个等腰三角形的基本图形。由于这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的，而现在这条CE尚未与角的一边AK相交，所以延长CE交BA的延长线于G（如图3-156），即可得△ACE≌△AGE，AC=AG，CE=GE。
图3-156
在得到了E是CG的中点后，由于条件中还给出F是BC的中点，就出现了两个中点，是多个中点问题，就可以应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明。由于E、F所在的线段GC、BC有公共端点C，可以组成△CBG，所以FE就是△CBG的一条中位线，从而也就可得FE=1/2BG=1/2（AB AG）=1/2（AB AC）。
对于条件中给出的AM是∠A的外角平分线和BD⊥AM，我们也可以用同样的方法进行分析，所以延长BD交CA的延长线于H（如图3-157）。得AB=AH，BD=HD，同样地再由BF=CF，就可证明FD=1/2（AB AC），分析就可以完成。
图3-157
更多《基本图形分析法》文章，欢迎关注“上海莘越”~
,
