矩阵的逆和转置区别 逆矩阵和矩阵转置

本文是吴恩达《机器学习》视频笔记第18篇，对应第1周第18个视频。

“Linear Algebra review(optional)——Inverse and transpose”

上两个小节分别讲了矩阵和矩阵的乘法、矩阵乘法的性质、单位矩阵，这一小节讲一些特殊的矩阵运算：矩阵的逆和矩阵转置。

同样的，我们对比实数运算来理解矩阵的逆运算和转置。

在实数空间中，我们有一个特殊的数“1”，任何数和1相乘都等于它本身，如果一个数和它的倒数相乘等于1。当然，也并不是所有的数都有倒数的，比如0.

那么，在矩阵的世界中，有没有类似实数倒数的定义呢？那就是逆矩阵了。它怎么定义呢？如下：

如果一个方阵存在逆矩阵，那它们满足： . 要注意，只有方阵（即矩阵的行数=矩阵的列数）才可能存在逆矩阵。

那逆矩阵怎么算出来呢？当然是使用软件来做了。如果用Python的话，可以用Numpy来做。

本门课使用的是Octava，直接用函数pinv即可，代码如下：

A=[3 4; 2 16] inverseOfA = pinv(A)

pinv(A)即是所求，关于Octava的使用将在第二周的课程中讲解。

我们需要注意的是：（1）只有方阵才有可能有逆矩阵；（2）并不是所有的方阵都有逆矩阵。那到底什么样的矩阵没有逆矩阵呢？此处并没有讲，后面机器学习问题碰到的时候再说。对于不存在逆矩阵的矩阵，学术上被称为“奇异矩阵”或者“退化矩阵”。

如下图，A的转置矩阵用 来表示。

矩阵A的第一列，变成了A的转置后的第一行，就这么简单。更正式一点的定义如下：

就是说，把矩阵的行标列标呼唤一下，就变成它的转置矩阵了。

到此为止，我们把机器学习中所要用到的线性代数的知识就都复习完了。包括了：加减、乘标量、乘向量、乘矩阵、求逆、求转置、矩阵乘法的性质这几部分内容，说起来很简单，但就是这样简单的线性代数基础可以发展成机器学习的算法，很奇妙。