一、学习目标

1、由数轴上两点间的距离转化为坐标系中求线段的长度,进而探索坐标系内任意两点间的距离;

2、运用所掌握的方法解决坐标系内三角形面积的解题策略;

3、体验和感受用“转化”的数学思想,指导我们探究学习数学问题.

二、学习过程

【基础题型】

1、如下图所示,数轴上有A、B两点,分别表示2和-2,C是数轴上一动点.

①求AB的长;②若点C表示的数是x,请用含x的式子表示出AC和BC的长;③若AC=3,求点C.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(1)

解析:①AB=2-(-2)=4;②AC=∣x-2∣,BC=∣x-(-2)∣=∣x-2∣;③分两种情况:若点C在点A的右边,则点C表示的数是5;若点C在点A的左边,则点C表示的数是-1.

点评:(i)绝对值的意义就是表示数轴上两点间的距离,任意实数的绝对值永远为非负数;(ii)数轴上两定点间的距离就是“大数减小数”,更确切可以记为“右减左”;(iii)若数轴上两点是一定一动,则它们的距离可以用含绝对值符号的式子表示出来.

2、如下图,在平面直角坐标系中,直线m和n分别平行于坐标轴,且交于点C,其中,m和y轴交于点D,n和x轴交于点E,已知点A(3,2)和B(1,4)分别在直线m和n上,求 :

①点C的坐标;②AC和BC;③若点F(x,0)是x轴上一点,且位于直线n的右侧,表示出△CEF的面积.若点F位于直线n的左侧呢?

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(2)

解析:①C(1,2);②AC=3-1=2,BC=4-2=2;③如下图,当点F位于直线n的右侧时,x >1 ,S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×(x-1)×2=x-1;当点F位于直线n的左侧时,x <1 ,S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×(1-x)×2=1-x.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(3)

点评:(i)若两点在x轴上,则求它们之间的距离的方法是“右减左”,若两点在y轴上,则求它们之间的距离的方法是“上减下”;(ii)求坐标系中三角形的面积,就是用上面的方法,把底和高分别表示出来后,代入三角形的面积公式化简计算即可.

【转化题型】

1、如下图,在平面直角坐标系中,线段AB位于第一象限内,若A(4,1),B(1,3),则:①求AB的长;②若点C(-1,1)求三角形ABC的面积.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(4)

解析:①因为点A和C的纵坐标都是1,所以AC∥x轴,如下图,过点B作BD⊥x轴于点D,交AC于点E,则BD⊥AC.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(5)

在Rt△BEA中,AE=3,BE=2,则由勾股定理可算得AB=√13.

②△BCA中,AC=5,BE=2,故三角形ABC的面积=1/2×AC×BE=5.

2、如下图,在平面直角坐标系中,已知:A(-2,1),B(3,4),C(3,2),求S△ABC.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(6)

解析:如下图,过点A作AM⊥BC,垂足是M.S△ABC=1/2×BC×AM=1/2×2×5=5.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(7)

点评:三角形的三条边中若有和坐标轴平行的边,就以这条边为底,求出这条边上的高,然后利用三角形面积公式求解即可.

本题还可以用补形法求解,比如可分别过点A和C向x轴作垂线,垂足为M和N,如下图所示,则S△ABC=S梯形AMNB-S梯形AMNC. 本篇主旨是探索坐标系中求三角形面积的通用方法,因此其他解法,不再一一赘述.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(8)

3、如下图,在平面直角坐标系中,已知:A(-2,1),B(1,4),C(3,2),求S△ABC.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(9)

解析:如下图,过点B作BD∥y轴,交AC于点D.设过AC的直线的解析式为y=kx b,把A(-2,1)和C(3,2)分别代入解方程组,可求得k=1/5,b=7/5,即过AC的直线的解析式为y=1/5x 7/5. 设点D(1,n), 代入解析式可得n =8/5. 设 △BDA和△BDC的高分别为h1和h2,则S△ABC=S△BDA S△BDC=1/2×BD×h1 1/2×BD×h2=1/2×BD×(h1 ×h2)=1/2×12/5×5=6.

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(10)

点评:h1 h2的和就是“C的横坐标减去A的横坐标 ”,可以认为是△ABC水平的宽度,因此,求解坐标系中斜放置的三角形的面积,通常记为“水平宽×竖直高”的一半,其中竖直高就相当于题中BD的长.

三、学结

①坐标轴上两点间的距离,或者是坐标系中横平竖直线上两点间的距离,都可以用“右减左(水平线)”和“上减下(竖直线)”来表示;

②坐标系中斜放置的线段的长度,可以转化为直角三角形中用勾股定理求斜边,或者运用两点间的距离公式:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(11)

③坐标系中处理问题的原则是:作横平竖直的线.

④求三角形的面积时分两种情况:

(i)有一条边在坐标轴上:以在坐标轴上的边为底边,过顶点作垂线,如下图1,S△ABC=1/2·AB·|yC|

(ii)没有边在坐标轴上(即斜放置的三角形),过顶点作平行于坐标轴的直线,如下图2,S△PAC=1/2·PP′·|xC-xA|,即“水平宽×竖直高的一半”.(这个结论是9年级二次函数综合题中经常用到的公式)

三个坐标求三角形面积例题(初中必考坐标系中)(12)

,