本期主题证明整除的性质，今天小编就来说说关于整除问题包括什么?下面更多详细答案一起来看看吧!
整除问题包括什么
本期主题
证明整除的性质
若x|z, y|z，(x,y)=1， 则x·y|z。
先来回顾带余除法的定义
带余除法 设m是非零整数，n是任意整数，则可以唯一确定整数q和r,
使得
n=m×q r （0≤r＜|m|）
即
n÷m=q……r （0≤r＜|m|）
其中q和r分别称为商和余数。
下面证明带余除法的唯一性（存在性显然）
证明: 存在q、r，使得
n=m×q r （0≤r＜|m|） ①
若存在q1、r1，使得
n=m×q1 r1 （0≤r1＜|m|）②
②-① 可得
0=m×（q-q1） (r-r1)
∴ (r1-r)=m×（q-q1）
∴ |r-r1|=|m|×|q-q1|
由
0≤r＜|m| 0≤r1＜|m|
可得
|r-r1|＜|m|
所以必然有
|q-q1|=0
∴ q=q1
∴ |r-r1|=|m|×|q-q1|=m×0=0
∴ r=r1 □
最大公约数 设m，n是两个整数，q称为m，n的最大公约数，若它满足下面两个条件：
（1）q是m，n的约数；
（2）m，n的约数都是q的约数；
最大公约数记为（m, n）。
引理1 若有等式
n=m×q r ①
成立，那么n、m和m、r有相同的公约数。
证明：若p|m，p|r, 由①得，p|n。这就是说m、r的公约数都是n、m的公约数。反过来
若p|n, p|m，则p一定整除它们的组合
r =n-m×q
这就是说p是m、r的公约数。由此可见，如果n、m有一个最大公约数p，那么p也是m、r的最大公约数。 □
引理2 设m，n是任意两个整数，存在最大公约数p使得
p=u·m v·n
其中u、v是整数。
证明：若m，n中有一个为零，譬如n=0。那么m就是最大公约数。
m=1·m 1·0
下面来看一般情况。不妨设n≠0。根据带余除法
n=q1×m r1 （0≤r1＜|m|）
若r1≠0，再根据带余除法
m=q2×r1 r2 （0≤r2＜|r1|）
若r2≠0，再根据带余除法
r1=q3×r2 r3 （0≤r3＜|r2|）
如此辗转相除下去，显然余数越来越小
|r1|>|r2|> ……
因此在有限次之后，必定有余数为零。于是我们有一串等式；
n=q1×m r1
m=q2×r1 r2
……
rs-2=qs×rs-1 rs
rs-1=qs 1×rs 0
rs与0的最大公约数是rs。根据前面的引理，
rs是rs与rs-1的最大公约数，同理，逐步推上去。
rs是m，n的最大公约数。由上面的倒数第二个等式
rs=rs-2-qs×rs-1
再由倒数第三个等式，
rs-1=rs-3-qs-1×rs-2
带入得
rs=（1 qsqs-1）rs-2-qsrs-3
再次逐步带入，再并项得到
rs=u·m v·n □
现在证明
性质 若x|z, y|z，(x,y)=1 则x·y|z。
证明： 由x|z, y|z，可知
z=m·x
z=n·y
(x,y)=1 由引理可知
1=u·x v·y
两边同时乘z
z=z·u·x z·v·y
z=n·y·u·x m·x·v·y
z=n·u·x·y m·v·x·y
z=(n·u m·v)·(x·y)
综上
x·y|z □
,
