初中数学中，我们已经知道二次函数在中考中的重要性，而且二次函数与一元二次方程的关系，也是考试中必须掌握的，因为与一元二次方程的关系，就涉及到与坐标轴交点的问题，以及根的相关情况。今天和同学们一起学习二次函数与一元二次方程的关系，希望同学们能够明确研讨方向，掌握求解方法。
函数y=ax^2 bx c(a≠0)，当y=0时，得到一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)，那么一元二次方程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程的根的情况。二次函数y=ax^2 bx c(a≠0)与x轴的交点情况有三种：有两个交点，有一个交点，没有交点，它们分别对应着一元二次方程ax^2 bx c=0的根的三种情况。
通过上面的表格，我们就可以非常清楚的看到，二次函数与一元二次方程的关系就是研讨二次函数图像与x轴的交点问题，常通过研究一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图像来解决。
那么如何判断二次函数的图像与x轴交点的情况，也会考试中经常会考到的方向，对于二次函数y=ax^2 bx c(a≠0)求解的基本方法是：(1)b²-4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；(2)b²-4ac=0⇔抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点在x轴上）;(3)b²-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点。
设对应一元二次方程ax^2 bx c=0两实数根为x1,x2，(1)当∆≥0，且x1x2>0时⇒两根同号。①当∆≥0,且x1x2>0,x1 x2>0时⇒两根同为正数。②当∆≥0,且x1x2>0,x1 x2<0时⇒两根同为负数。(2)当∆>0,且x1x2<0时⇒两根异号；①当∆>0,且x1x2<0,x1 x2>0时，两根异号且正根的绝对值较大；②当∆>0,且x1x2<0,x1 x2<0时，两根异号且负根的绝对值较大。
例题1：已知二次函数y=-x^2 2x m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x^2 2x m=0的根为？
解析：本题考查二次函数与一元二次方程的关系，从图示中可以看出，只需要将x=3,y=0，代入函数解析式就可解出m.
例题2：下列关于二次函数y=ax^2-2ax 1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是（).
A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧 C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
解析：要判断二次函数y=ax^2-2ax 1(a>1)的图象与x轴交点的问题就是要判断对应一元二次方程ax^2-2ax 1=0(a>0)有没有实数根的问题。即是判断判别式的值的正负情况，要进一步判断二次函数的图像与x轴交点在y轴右侧或左侧，即是进一步判断一元二次方程两实根的正、负情况。最终得到正确答案是D。
希望同学们自行领会二次函数与y轴交点的情况，掌握此类题目的解题思路，学会解题方法，掌握二次函数与一元二次函数的关系。
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