旋转的定义：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转，定点叫作旋转中心，旋转的角度叫作旋转角。
旋转三要素：①旋转中心②旋转方向③旋转角度。旋转时这三点必须交代清楚。
旋转的性质：①旋转前后的图形只是位置发生了变化，大小和形状没有改变（对应边相等、对应角相等）；②对应点到旋转中心的距离相等，对应点连线的垂直平分线必经过旋转中心；③对应点到旋转中心的连线所夹的角相等，都等于旋转角，旋转前后对应边所夹的角等于旋转角（这个结论重要，下面专门举例进一步探究）；④旋转会出现等腰三角形，旋转会出现相似三角形，旋转前后出现的每一组等腰三角形都相似；⑤旋转中心是唯一不动的点。
等线段共端点，构成旋转的前提条件，通过旋转转移角、转移边，从而得到新的条件以满足解题的需要。
实战中的旋转题型分为两类：1、旋转前后全等；2、旋转前后相似，此时可以称为“旋转放缩”。
如下图1，若△ABC绕点A逆时针旋转了α角到△ADE的位置，旋转前后的三角形大小不变，即△ABC≌△ADE，这种情况是旋转全等；
如下图2，若连接BD和CE，则△ABD和△ACE就是等腰三角形，可以认为是△ABD绕点A逆时针旋转了α角到△ACE的位置，这种情况叫做旋转放缩，此时△ABD∽△ACE，这时候常常要用三角形相似的知识解题了。
分别取旋转前后的两组对应边AB和AD、AC和AE的中点M、N、P、Q，连接MN和PQ，如下图3，得到△AMN和△APQ都是等腰三角形，且△AMN∽△APQ（根据旋转的性质，你能说出来理由吗？）。
连接旋转前后对应线段上的对应点，得到的等腰三角形，因为顶角都等于旋转角，所以它们全相似（这个结论课本上没有，考题中常用到）。
进一步研究，上图中BC和DE所夹的角是多少，等于旋转角吗? 因为旋转前后对应边所夹的角等于旋转角，所以BC和DE所夹的角是∠BAD，但是课本上没有这个结论，我们可以证明一下。
看下图，分别延长BC和DE交于点P，BC的延长线交AD于点F。在△ABF与△PDF中，∠1=∠2，∠B=∠D，所以∠BAD=∠FPD，即BC和DE所夹的角等于旋转角（∠BAD）。
这种证明方法和结论在许多几何综合题中会用到。
【典型例题1】
如下图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接MN，AM，AN．下列结论：
①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ACD=2S△ADE．其中正确的结论是__________
【解析】题中条件给了共端点A和等线段“AB=AC，AD=AE”，也就具备了旋转的条件，所以△ACD可以认为是△ABE绕点A顺时针旋转得到的，旋转角为∠BAC（或∠DAE），故①正确；
△ACD和△ABE是旋转前后的三角形，AM和AN分别是两个三角形的中线，所以AM和AN是旋转前后对应边，所以AM=AN，则△AMN是等腰三角形，且∠MAN就等于旋转角∠BAC，根据旋转的性质④可得△ABC∽△AMN，故②正确；
只能判断出△AMN是等腰三角形，无法做出等边三角形的判定，故③错误；
若点D是AB的中点，则DE是△ABE的中线，由于三角形的中线平分面积，所以S△ABE=2S△ADE，又因为△ACD≌△ABE，所以S△ACD=2S△ADE，故④正确.
故答案为：①②④.
点评：本题考点有相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质，是不是感觉考察的知识点繁多？其实若能熟练掌握旋转的知识，就可以根据旋转的性质快速得到正确答案，并且举一反三，还能得到题中△ACN≌△ABM，△AND≌△AME。（你能说出理由吗？）
【典型例题2】
（1）提出问题：如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC =∠ACN.
（2）探究问题：如图②，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为腰作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC,连结CN.探究：（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【解析】方法不唯一，本题从旋转的角度解答。
（1）易证△ABM≌△ACN，由于具备“等线段共端点”的条件，可以认为△ABM绕点A逆时针旋转60°得到△ACN。
（2）△ABM和△ACN是旋转放缩的关系，可证△ABM∽△ACN得到答案。由∠AMN=∠ABC，△ABC和△AMN是等腰三角形，得△ABC∽△AMN，∠BAC=∠MAN，所以∠BAM=∠CAN，又因为AB：AM=AC：AN，所以△ABM∽△ACN，∠ABC =∠ACN.
【典型例题3】
如下图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长为_____．
【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝√3，∴AD＝BC＝√3，∴tan∠ABD＝√3 ，∴∠ABD＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∴∠DAD′＝60°，∵AD＝AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′＝AD＝BC＝ √3
【典型例题4】
如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，∠PAC ∠PCA=½α．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP＇，连接PP＇，如图1所示．由△ABP≌△ACP＇可以证得△APP＇是等边三角形，再由∠PAC ∠PCA=30°，可得∠APC的大小为_____度，进而得到△CPP＇是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为__________.（要求写出规范解题过程）
（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明.
【解析】（1）背景图形是“等线段共端点”考虑旋转，根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可，答案为：150，PA² PC²=PB²；
（2）如下图，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，∴∠APP′=30°，又∠PAC ∠PCA=60°，则∠APC=120°，∴∠P′PC=90°，∴PP′² PC²=P′C²，由∠APP′=30°，得PD=√3/2·PA，∴PP′=√3PA，∴3PA² PC²=PB².
点评:拿到题之后先看题，然后辨识结构，这是个什么结构从而决定怎么做，“等线段共端点”是旋转的前提，题中只要具备这样的条件，心里就要知道“这里面有旋转，这里面有全等”，从而转移条件达到解题目的。
【配套习题】
1、如下图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
2、如下图1，将正方形ABCD的顶点B与正方形EFGH的对角线的交点重合在一起，则两正方形重叠部分（即阴影部分）的面积是正方形ABCD面积的3/16 ，若将正方形ABCD的对角线的交点与正方形EFGH的顶点H重合在一起，如下图2所示，则两正方形重叠部分（即阴影部分）的面积是正方形EFGH面积的________．
3、如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E.若AD＝BE，则△A′DE的面积是______．
4、如下图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是______．
5、（1）请阅读材料并填空：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=______，等边△ABC的边长为______．
（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
6、（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。
填空：①∠AEB的度数为______；②线段AD、BE之间的数量关系是______．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。
【答案】
1、B
2、⅓
3、6
4、√3 1
5、（1）150°，√7 （2）135° √5
6、（1）①60° ②AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE 2CM．理由略.
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