作者 | 老张评论

来源 | 图灵教育

2003 年,大英议会罕见地讨论了一个焦点问题:学一元二次方程,有什么用?

故事的起因是,在一次英国教师联合会议上,一元二次方程成为了众矢之的,它被批判为“数学家强行施加给无辜的、毫无戒备的学生们的典型‘酷刑’之一”。随后,一元二次方程成了当时黄金时段电台节目的讨论主角,在节目里,它遭到了各种质疑。《泰晤士报》甚至特意在头条位置写道:一元二次方程是毫无用处的,数学是无用的……没有人真想学习数学,大家不必浪费时间。

有鉴于此,为了避免对一元二次方程的不利看法在民众心里一直占据上风,英国下议院专门讨论了这个问题。幸好,英国民众最后没有放弃数学,免除了数学的“罪过”。

为什么会发生这种咄咄怪事?在数学界,有些编写教材的人想维护“数学王国”的神秘和尊严,却忘记了数学的“初心”——他们大概也不了解数学是怎样生长起来的。事实上,和所有科学门类一样,学习数学最好的方式之一就是从了解数学的发展脉络,也就是数学史开始。

学习数学的基本方式,简单地说也是三段论:遇到问题 — 分析问题 — 解决问题。

你也许遇到过这个问题:一个长方形的长比宽多 2,且其面积是 63,问:长方形的长是多少?

其实,在公元 823 年左右,花拉子米从印度回到波斯后,就给此类问题提出了一个解法,即用图形构造代数问题的解决方法。实际上,这个最古老的解法正是初中学生能快速掌握一元二次方程的好方法。孩子们通常要学一个月的课程内容,或许可以压缩到一节课,就学完了!等你学会了这个方法后,反过来想想,整个初中代数的基本框架也许用十个小时左右就能掌握了。

实际上,这才是真正意义上的“减负”学习法吧?

《不可能的几何挑战》一书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础,从历史的角度,展现了两千多年来,数学家们为解决这些问题留下的令人拍案叫绝的思想与成就。这场历史的探索将我们从古典时期引领到今天。纵观两千年,这四个“不可能解决”的问题引导、启发了人们数学思维的发展,发掘出数学思想史中的种种细节。人们为解决这些问题而找到的方法——尽管大多“竹篮打水一场空”——延伸至整个数学领域,众多重大数学发现皆与它们息息相关。笛卡儿、牛顿、高斯等数学巨擘,都多多少少从这些问题的讨论中吸取营养,各自成为数学大方。

然而,问题本身反而是次要的。我们走完这趟旅行,就会发现整个古典数学的经纬脉络就变得清清楚楚,各个知识点也显得更容易掌握。这时候,我们回头再看初中和高中的数学课本,每个知识点的来龙去脉就完全活了起来。

我们就用上述花拉子米的解法来举个例子。如何用 10 分钟给初中生讲明白一元二次方程?

分析:一个长方形的长比宽多 2,且其面积是 63,请问长方形的长是多少?

第一步:该长方形首先可以切成两个部分,一个是边长为宽(设为 a)的正方形 A,面积为 Sa=宽²;另一个是长方形 B,面积为 Sв=a×2。

数学图形法(反过来学数学从图形到符号的思考法)(1)

第二步:长方形 B 可以继续平分为两个长方形 C,其面积为 Sс=a×1= a。

数学图形法(反过来学数学从图形到符号的思考法)(2)

第三步:正方形 A 和两个长方形 C 可以拼成缺了一个角的正方形。而这个大正方形的边长为 a 1。如图所示,这个缺失的角是一个 1×1 的正方形。

数学图形法(反过来学数学从图形到符号的思考法)(3)

第四步:从上图中可以看出大正方形面积等于:

a² 2×a 1=(a 1)²= 63 1=64

解得 a=7

透过这个例子不难看出,数学的底层逻辑,如“这个问题是怎么来的?”“它是如何演变和进化的?”“知识树又是怎么生长的?”,大多藏在数学史中。带着问题去学习,往往是最好的路径。

数学学习最好遵循先“场景化”,再“图形化”,然后“符号化”的规律。但在很多情况下,孩子们在课堂里遇上的数学一上来就被“符号化”了——这就是很多孩子觉得“数学难”的根本原因。

《不可能的几何挑战》这本书恰恰在场景化和图形化方面做得十分精彩。每个符号变换背后,都有图形变换和场景作为支撑。通过讨论这几个议题,作者带着我们把整个初等数学和高等数学的框架都“刷”了一遍。而这种浏览绝对不是课本式的,它所遵循的正是“提出问题—分析问题—解决问题”的三段式学习方法。

最后的效果是,我们不但看见了“树木”,更看见了整个数学体系这片森林。

数学图形法(反过来学数学从图形到符号的思考法)(4)

《不可能的几何挑战》

作者:大卫·S.里奇森

出版社:人民邮电出版社

出版时间:2022-01

数学图形法(反过来学数学从图形到符号的思考法)(5)

,