二进制如何算减法（二进制下为什么能用补码来计算减法）

作者:Sotyoyo

来源:https://segmentfault.com/a/1190000038573204

二进制如何算减法（二进制下为什么能用补码来计算减法）(1)

学习目标

计算机中是怎么去描述一个"数"的？（本文有答案）
补码到底是什么？为什么要发明它？为什么用补码就可以计算减法？获得一个原码的补码的原理是什么？（本文有答案，重点）
怎么知道一个占n比特位的数，它所能表示的整数范围是多少？（本文没细讲）
什么是浮点数？怎么用二进制表示浮点数？什么是浮点数的精度？（下一讲）

对比一个时钟，来看二进制补码数据应该怎么在计算机内存储？

在计算机的世界里，不论任何数据形式，只能用二进制表示和计算，因为作为开关的电信号仅有两种状态。二进制，简单来说我认为是一种计数规则，相比于我们从小学到大的十进制，二进制就是逢二进一。举例，5 (10) = 101 (2) ，5在十进制数当中算作一位，因为他只有一个"个位"，而101 (2) 这个数字在二进制中算作三位，每一位都以电信号的方式存储在计算机的某个半导体内。我们这里的"位"，就叫做1一个比特位(bit) ，这很重要，它直接影响了数的表示范围。
存储信息的半导体的个数是有限的，所以用来表示数的比特位也是有限的，我们不能随心所欲的无限扩张它，我们要尽可能的增大表示范围，又要控制数据的存储空间。举例，在Java中，一个int类型占据了4个字节(Byte) ，再加上我偷偷告诉你1个字节等于8个比特，所以Java里int占32位：在脑海里的样子：0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000什么？不看虚的？那你瞧一瞧下面这张图！这，就是标题里面 问题1 的答案 -- 数据以一个个的电容信号存储在计算机硬件里面的某些半导体中，你仅可以想象它的样子（如上面的32个0）。
我在这里不想描述进制间是怎么转换的，这不是我们今天讨论的重点，感兴趣的话可以自行搜索。

整数的二进制表示和补码

整数又分为正整数，负整数，零。如果想要简单的来表示 无符号整数 ，定义一个正整数占4个比特位的话，那么6 (10) = 0 2 3 1 2 2 1 2 1 0 2 0 = 0110 (2)在这种情况下，我们无法表示出负数，那么用这样的方法表示多少个非负整数？也就是 0000 (2) \~ 1111 (2) 也就是 [0 \~ 2 3 2 2 2 1 2 0 ] = [0 \~ 15] 也就是 2 4 个。可我就是想要表示-6怎么办呢？我们只能sacrifice掉一位男...额不对，是牺牲掉1个比特位。也就是说我们要拿出1个比特位来做符号位，0表示正，1表示负那么，同样一个 6：6 (10) = 1 2 2 1 2 1 0 * 2 0 = 0110 (2)一定要注意这次的计算方式和上一次的区别，少了一次对2 3 的计算！是因为这次存储数值的总共就三位，还有一位用作了符号位：符号位数值位 0 110自然而然，我们会想到用 1110 (2) 来表示-6的二进制（我一定要先声明，这是一种错误 :no_good:‍♂️的做法，请往下看完）这里出现了一个问题，如果我想让你计算 1-6=？/** 计算机没办法做减法，只能通过 1 (-6) 来实现1-6 **/ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

你会发现结果是 -7，这显然不对。（原因是第一位是用来表示正或负号，不能参与计算）

为了解决这个问题，人们想出了补码的概念。当负数用二进制补码表示后，符号位能与有效值部分一起参加运算，减法运算可以转换为加法运算并且结果正确。原理呢？别急，看看下面这个家伙这是一个时钟，12进制。我们运用生活中的经验来回答以下几个问题：Q1.现在是8点，问5小时后是几点？ 8 5 = 13 但是时钟上没有13点，所以你看到的是1点 Q2.现在是8点，问5小时前是几点？ 8 - 5 = 3 3点！可是请问用加法怎么解决这个问题呢？这里我们可以用8 7来得到3点把8-5看作是时针从8点向前拨动了5个小时，回到了3的位置，但是他也等同于把时针从8点向后拨动7个小时，到达了3的位置上。然后你心里面一定会有疑问 ️小学数学告诉我们8-5=3，可是你来给我解释解释8 7为什么等于3！$$\begin{cases} \text{-5 0 = -5}\\ \text{0 = 12} \ \ \text{在时钟只有一个的情况下（只有1个比特位时）0 = 12 （可以看下时钟，0点也是12点，对吧？）} \end{cases}$$所以 -5 12 = 7 = -5可以看到，这里的-5等于了7，我们把12进制中的7和-5就称作是一组 互补数 ，用这样方法，可以做到加法代替减法，让计算机把符号位带入还可以正常运算如果你没看懂，那你听听我的另一种解释：8 7=15，但是时钟是一个12进制的工具，所以十进制的15 (10) 的实际表达是12进制的13 (12) ，但是由于我们只有一个时钟，就相当于我们只有一个比特位来存储13 (12) 这个数据，那么第二位"1"就溢出了，这个"1"相当于是被一个黑洞给吞掉了，我们根本没有办法去找回来，所以最后只剩下一个12进制的3 (12) ，所以最后8 7=3！
那么，在二进制中，该怎么计算出补码呢？正数和0的补码就是该二进制本身，也就是原码。负数的补码则是将其对应正数的原码按位取反得到反码再加1。原理呢！我们假定现在用2个比特位来表示1个数，依葫芦画瓢，列出下面的不等式组：$$\begin{cases} \text{原码补码 = 00}\\ \text{00 = 100} \ \ \text{只有2个比特位时} \end{cases}$$补码 = 100 (2) - 原码 = （11 (2) 01 (2) ）- 原码 = 11 (2) - 原码 01 (2)而11 (2) - 原码是什么？仔细想一下，这不就是相当于是原码取反后的结果吗！写到这里，我想你终于可以弄懂 问题2 了吧？

小数的二进制表示

小数可以拆成整数部分和小数部分，整数部分的表示方法在上面，小数部分应该怎么做呢？举例，十进制123.45表示成二进制如下图：具体的转换方式是：整数部分采用十进制转二进制方法进行小数部分乘以2，然后取整数部分。不断重复该操作直到 小数部分为0，或达到指定的精度
你想要的只是岁月静好。但是呢，不是所有的小数都能转换有限位数的二进制小数。例如10进制0.2的二进制：0.2 x 2 = 0.4 00.4 x 2 = 0.8 00.8 x 2 = 1.6 10.6 x 2 = 1.2 10.2 x 2 = 0.4 00.4 x 2 = 0.8 00.8 x 2 = 1.6 10.6 x 2 = 1.2 1……不光岁月静好，我还送你天荒地老这是为什么呢？抛开数学概念，十进制中1的一半是0.5，二进制中1的一半是0.1；十进制中自然可以十等分形成小数，所有不能十等分的都是无限循环，同理二进制中只能二等分，所有不能二等分的自然都是无限循环。正如切蛋糕，二进制就像一把一次只能切一半的刀。
讲了这么久，该表示表示了吧？所以，理论上，我们可以这样存储小数（以123.5为例）：符号位整数位小数位 0 0111,1011 1000,0000但是，这种方法是不被采用的，实质上，被用来表示小数的东西叫做 浮点数 。

浮点数的二进制表示