度量的内容结构是相同的：核心要素两个 （度量单位、单位的个数即度量值）、基本性质三条 （运动不变性、合同性、有限可加性）。
度量内容的教学策略也是相通的，即教师备课时要把握度量的本质，设计教学活动时应该注意：让学生经历单位的产生过程、单位的累加过程，形成单位的观念并以此为标准学会估计，培养数感，积累度量活动的经验。
因此， 不管是备课还是评课都应该从这几个方面进行思考。
◦
◦
◦
本文选自︱《小学教学（数学版）》2013.05
作者︱刘加霞
度量的本质是“比”
01
从概念上看，度量是用一个数值来表示物体的某一属性。从行为上看，度量就是将一个待测量和一个标准量（单位）进行比较，“标准”的个数就是度量的结果。
我们还强调，度量教学的关键是：“数”出度量单位的个数，建立“一个长度单位的观念”，培养学生的量感，具体表现是根据具体物品选择合适的单位以及估计长度。
所有这些量中，长度是最容易感知和学习的，小学是分阶段学习长度的：先学习厘米与米，其次是毫米与分米，最后学习千米，可以说学习这些内容的方式与策略是相通的。
毫米是小学阶段学习的长度的最小度量单位，由于 1 毫米“太小”，学生应该如何 1 毫米 1 毫米地数出单位的个数？如何理解“1 厘米＝10 毫米”的合理性与价值？学生在学习这些内容时会出现哪些疑难与困惑？教师如何针对学生学习的疑难困惑而设计有价值、有实效性的学习活动？
赵老师在执教“毫米的认识”时对这些问题都有思考。
从“厘米尺”到“毫米尺”：
单位越小度量结果越准
02
要度量任何一个量都要有单位，单位经历了从非标单位到国际标准单位的发展历程。单位不唯一，都有很多，例如任何一个量的国际标准单位都是一套“单位系统”（相邻单位之间有相对固定的数量关系），为了度量得更精确，需要产生小单位。
长度也不例外，学习了厘米、米之后，再学习毫米、分米，所以认识毫米时应该有学习的需求：为什么学习毫米？毫米是怎么产生的？
赵老师执教的“毫米的认识”一课就让学生经历了要想更精确地度量“附小币”的长度就必须有更小的单位这样的情境。 因此，上课时教师给出的是 “厘米尺” ，最小单位是厘米，而不是学生常见的直尺，最小单位已经是毫米。
看似简单的情境其实不简单，从 “厘米尺” 到 “毫米尺” ，让学生亲身经历了 “产生更小单位” 的过程。教学中如果用现成的直尺来度量 “附小币” ，学生则没有思维的投入而只有测量的技能。
让学生经历把“大单位”1 厘米平均分成若干份，其中 1 份作为新的单位的过程具有重要意义。 例如，把 1 厘米平均分 10 份还是 2 份？
我在听其他教师执教这节课时，有的学生是把 1 厘米平均分成 2 份，其中 1 份作为单位进一步测量。到底分成 2 份还是 10 份？在教学中就产生了冲突，不同的学生有不同的看法（平均分成 2 份更朴素，但平均分成 10 份所得到的新单位更小，度量的结果更准确，而且与通用的十进制计数法相匹配）。
让学生经历“平均分成多少份”的讨论过程，学生就会有质疑、冲突，进而有思维的投入。
在赵老师的教学中，学生基于自己的学习经验和生活经验，很自然地都把 1 厘米平均分成10 份，每一小份就是“更小的单位”。分成多少份学生之间没有冲突，但把 1 厘米长的线段平均分 10 份，在 1 厘米长线段的“中间”到底画几条刻度线（“小竖道”）则出现了冲突：
师：嗯！只要把 1 厘米平均分成 10 份，就能找到比厘米更小的长度单位——毫米。要想把 0 到 1 这一小段平均分成 10 份，中间应该——
生：（脱口而出）画 10 道！
生：不对，应该画 9 道！
（其他学生有的同意“10 道”，有的同意“9 道”）
师：到底应该画几道呢？
（“9 道”，“10 道”的声音依然不绝于耳）
这也是一个很有趣、很有价值的冲突，不就是“植树模型”吗？在这样的冲突、质疑、观察、操作中不也为以后学习“植树问题”积累了一些经验吗？有过这样的冲突，我们相信学习植树问题时会有学生有种“噢，好像见过似的”恍然大悟的感觉。
如果不经历 1 毫米的产生过程，而仅仅知道 1 厘米等于 10 毫米这样一个事实，就不会有这个“意外收获”。如果不让学生经历“过程”怎么为学生积累数学活动经验呢？要知道，教师的讲解和告知很难为学生积累数学活动经验。
“1 毫米”指“哪儿”：
是蚂蚁还是蚂蚁的“腰”
03
感知 1 毫米到底有多长，可以设计很多操作感知活动，一般都是：
师：嗯，有的同学知道了，一分硬币的厚度就是 1 毫米。老师这里准备了一些一分硬币，在大家桌子上的小纸袋里，大家来感受一下，先用手这样捏起一分硬币，再把它抽出来，感受一下。
生：都快看不出有缝了。
师：再插进去、抽出来，多感受几次。
然后再举出生活中的其他例子，蚂蚁是学生最愿意举的例子，因为在日常生活中形容“小”的具象就是蚂蚁。但笼统地说，“蚂蚁”可以吗？
我听过几次“毫米的认识”的教学，凡是让学生经历过 1 毫米 1 毫米地数、感受 1毫米有多长、1 毫米到底指哪儿的活动，在举例说出蚂蚁时学生都会有停顿、有质疑、有思考。
生：蚂蚁的长度。
（马上有学生反对：有的蚂蚁有好几毫米长呢！该生马上纠正说：“我说的是蚂蚁中间那部分，就差不多是腰的那儿！”）
师：大家说得非常好，尤其是有的同学提到了蚂蚁，还有蚂蚁的腰。蚂蚁已经很小了，蚂蚁的腰就更细了。（学生纷纷大笑）大家觉得 1 毫米怎么样？
生：很小、很小。
师：是的，毫米是一个很小的长度单位，其实在生活中，也经常用到毫米来作为测量的单位，比如大家用的自动铅笔，还有字笔，笔芯的规格就是用毫米来表示的（大屏上呈现各种笔芯的规格），“毫米”我们用字母表示就是“mm”。
在教学“毫米的认识”时，真正让学生理解“毫米”，除了要让学生理解为什么要产生“毫米”这个长度单位，还要让学生知道“1 毫米”到底指哪里，是什么的长度。
（有学生误以为一个“点”就是 1 毫米，没认识到 1 毫米仍然是指“线段”的长度） 这样学生头脑中才能有表象的支撑，逐步形成关于毫米的观念，进而以此为标准学会估计，逐步培养学生的数感。
教学中重视 1 毫米到底指“哪儿”有意义吗？知道“很小、很小”不就行了？其实不然，我在听另一位教帅执教“毫米的认识”时，出现过这样的现象：
通过课前调研，很多学生已经知道 1 厘＝10 毫米，教学中教师首先确认学生是否都知道这一结论，全班学生都认可。然后教师让学生在自己的直尺上先找出 1 厘米在哪里，然后再数一数，1 厘米中有几个 1 毫米。
学生经过数数后，有几个学生（甚至有一个学生称之为“重大发现”）说：“老师，1 厘米不等于 10 毫米， 1 厘米＝ 9 毫米， “ 1 厘米”中间有 9 条 “小道” （刻度线），所以 1 厘米应该是 9 毫米。” 原来，学生把 “刻度线”的长度当成了 1 毫米， 1 厘米之间确实是 9 条刻度线。
有一次我给北京市的高中政治骨干教师讲述这个案例时，竟有老师说：“在尺子上，不就是1 条刻度线就是 1 毫米吗？”“我们还真不知道 1 毫米究竟指哪里。”“我们上小学时好像从来没这样‘深究’过尺子。”
确实，传统的数学教学不强调这些重要的过程，以知道事实性结论为目标，教学中没有数1 毫米线段的过程，学生的这些问题和困惑也不会暴露出来。
连续的量的本质：
超越感知、知觉的无限分割
04
显然帮助学生澄清哪儿是“1 毫米”是有价值的：1 毫米 1 毫米地首尾拼接起来，产生更长的线段即几个 1 毫米就是几毫米（数单位的个数得到的数量就是度量值）。同时再小的长度单位根据需要都可以无限细分下去的，只是很难通过动手操作来实现。
但这种“无限分割”的思想决不能仅仅靠操作、靠感觉来理解，更多的是依靠推理、想象来理解，这正是数学特有的魅力所在：来源于现实生活，但也要超越现实生活（感觉、知觉）。这也正是连续的量的本质所在：无限分割，每一份的大小趋于 0。
因此，赵老师以此作为课堂教学的结尾，给我们带来不失本质的思考空间：
师：刚才我们说到，如果是印刷附小币，精确到毫米我们就满意了。如果是做科学实验或者制造一些精密仪器，精确到毫米还不够，根据实际需要，就会产生更小的长度单位，如果我们想让结果更加精确，怎么办？
生：我们就把毫米再平均分成 10 份。
师：你的意思就是把 1 毫米再续细分，就能够找到一个——
生：比毫米更小的单位。
生：我还知道纳米。
师：对，其实比毫米更小的单位还有很多，比如有丝米、忽米、微米、纳米、埃等。我们可以根据需要，把其中一个长度单位通过再细分，得到一个更小的长度单位。至于是不是每次都平均分 10 份，就需要大家去查找资料，或者在今后上中学甚至上大学后再去研究了。
生：我想问的是，毫米都那么小了，怎么还能再分呢？
至于还能不能再分割、是不是还平均分 10 份，甚至于更小的长度单位到底应该叫什么名字等问题，都为学生带来了思考的空间，都为进一步认识“量”积累了活动经验。
毫米虽然“很小、很小”，但其教育价值并不小，关键在于教师是否能够认识到这一教学内容的教育价值，并设计合理恰当的活动来实现。
刘加霞︱北京市教育学院
本文是全国教育科学“十一五”规划 2010 年度中小学数学教育专项重点课题“基于 PCK 的中小学数学教师专业发展研究”的阶段性成果
,
