抽象代数体系
现代数学建立在集合论的基础上，一切可用集合描述，集合是我们描述一切的起点。
集合是由一些特定对象构成的全体，定义集合是为了与其他事物进行区分，突显出我们关注的研究对象。常用大写字母表示集合，如。而集合中的对象，我们称之为集合的元素，常用小写字母表示，如。当我们要研究实数时，我们就用表示全体实数构成的集合，其中的任何元素，也就是一个实数，可以记为。
我们常说，整体等于部分之和。用集合来表达，部分其实就是集合中部分元素构成的小集合，我们称之为集合的子集。两个集合的元素放到一起构成一个更大的集合，这种运算称为取并集，得到的结果称为这些集合的并集，记为。比如，全体实数，是有理数和无理数的并集。有理数我们一般记作，而无理数没有常用记号，但是注意到无理数就是全体实数中不为有理数的部分，可以记为（有的书上也记为）。这就是差集的概念。注意一般差集并不要求减号前面的集合包含减号后面的集合。
要研究两个集合的相关性的话，首先想到的就是它们的共同部分是什么。这个部分，我们称之为两个集合的交集，记为。
集合之间最富有创造性的运算，无疑是笛卡尔积，就像是神来之笔。有了笛卡尔积，就可以把映射看成是笛卡尔积的子集。两个集合的笛卡尔积，定义为
也就是说，从两个集合中各取一个元素做成有序对，就得到了笛卡尔积中的元素。这里要注意元素对是有序的。
映射和关系是刻画世界运行变化和事物相互关联最为重要的一环。一个集合到另一个集合的映射，指的是一个规则，对于第一个集合中的任何元素，都可以通过这个规则唯一确定出第二个集合中的一个元素与之对应，这个对应的元素称为前面那个元素在映射下的像。如果第二个集合是数的集合，我们通常称此映射为函数，称后面那个对应的元素为在函数下的值。建立保持集合特定性质的映射，将是我们在抽象代数中最重要的方法。而关系，天生就是将具有特定关联的对象群体从独立出来。它所表达的不是个别事物之间的关联，而是一个集合中所有对象之间的关联。具体说，一个集合上的二元关系，是这个集合和自己的笛卡尔积的一个非空子集。在这个子集中的元素有序对，被称为具有此关系，而其他元素有序对则不具有此关系。常用的关系有：偏序关系和等价关系。偏序关系，描述的是顺序；等价关系，描述的是在一定意义上的等同。
定义集合，是为了将事物区分开来，但是如果事物之间只有区分，而没有等同，也非常难以把握和理解。我们思考和理解，所依靠的正是“事物间的相同”。所以，集合从外面看，是“异”，从里面看，就是“同”。
集合思维非常重要，很多东西用集合来看就更有逻辑性。而集合思维的一个代表就是集合相等的定义。两个集合相等，就是说这两个集合中的元素完全相同。但是，这种定义方式不具有操作性，因而比较难理解。我们怎么说明两个集合中的元素完全相同呢？实际做的时候，集合相等说的就是，你是我的部分，我是你的部分。而你是我的部分，就是任取你中的一个元素，经过一系列推理，得到这个元素也在我的里面；反之亦然。
代数运算，是代数的核心。有了集合，我们理解代数运算就容易了。二元运算，其实就是我们的加法，乘法的抽象，是一个集合的笛卡尔积到这个集合本身的一个映射。具体说，就是这个集合中取一个元素，然后再取一个元素，按运算规则可以在这个集合中找到唯一一个确定的元素。注意，前两个元素是有序的，先取,再取，得到的像，和，先取，再取，得到的像，可能是不同的。
理解代数运算的时候，最好将集合中的元素想象成是对某个对象的某种操作，比如镜面反射，平移，旋转，将代数运算想象成这些操作的复合，也就是先做这个操作，再做那个操作，然后得到的代数运算的结果，就是从起点到终点的操作。
通过使用操作的复合来思考代数运算，自然地，会考虑具有结合律的代数运算。所谓结合律，指的是，依次取3个元素，用前两个先做运算得到的结果，再与第3个元素做运算，和，用第1个元素，与后两个元素做运算的结果再做运算，这两个过程得到的结果是相同的。需要注意的是，这两个过程中3个元素的次序位置是不能改变的。
一个集合连同上面的一个或者多个代数运算，就可以被称为一个代数系统。二元运算具有结合律的代数系统被称为半群。恒等操作，也就是什么都不做的操作，具有与任何操作交换的特性。它的抽象物就是幺元。含有幺元的半群被称为幺半群。大于1的正整数全体连同乘法构成没有幺元的半群，而正整数全体连同乘法构成幺半群。
至此，我们奠定了研究后续代数系统——群、环、域的集合论基础。
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