数学是发现的还是发明的？有人说数学是人类心灵最独特的创作，在数学里，有许多与生活息息相关且令人印象深刻的定理"喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家"、"在任意时刻，地球上总存在对称的两点，他们的温度和大气压的值正好都相等"等，这些数学定理、数学论述在圈子中广为流传，也为数学家深深喜爱。望文生义，不动点即是不改变的点。
某天从甲地开往乙地的列车和从乙地开往甲地的列车，一定在途中某点相遇。
把一张当地地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是在地图上的点所表示的位置。
布劳威尔（1881-1966），荷兰教学家，拓扑学的奠基人，他的突出贡献是建立布劳威尔不动点定理以及证明维数的拓扑不变性。布劳威尔把数学看作心灵的自由创造，在博士论文《论数学基础》中开始建立直觉主义的数学哲学。
1912年，荷兰数学家布劳威尔证明了如下定理：让一个圆盘里的所有点连续运动，则总有一个点可以回到运动前的位置。这就是著名的不动点定理。从图象上看不动点意味着点（x，f（x））在直线y=x上。
含参数的函数图象随参数的变化而变化，但这些图象常常恒经过定点。这类问题时常出现各类考试中，很多学生感觉束手无策，下面我们一同探究这类问题。
例１．（1）若直线y=kx-2k 5恒过定点，则该点的坐标为_____。
（2）当p取任意实数时，抛物线y=2x²-px 4p 1都经过一个定点，则该点的坐标为_______。
（3）无论m，n为何值，函数y=mx²-nx-m-n必过定点________
解析：将问题转化为"无关型"问题，对于式子ab=0，当a=0时，不论b为何实数，ab的值都是0。整理解析式，将含参数的项的系数变为0，由此确定定点。
（1）y=（x-2）k 5，当x-2=0，即x=2时，（x-2）k恒为0，y=5，故定点的坐标为（2，5）。
（2）y=2x²-p（x-4） 1，当x=4时，含p的项为0，y=33，与p的取值无关，故定点的坐标为（4，33）。
（3）y=（x²-1）m （-x-1）n，由x2-1=0，－ｘ－１＝０，得x=-1，y=0，故定点坐标为（一1，0）。
例2．已知二次函数y＝mx² 2mx﹣3m﹣1（m≠0）的图象交x轴于P，Q两点．
（1）求该二次函数图象的对称轴，并用含m的代数式表示该二次函数图象顶点的纵坐标；
（2）求证：无论m取何非零实数，该二次函数的图象必过某定点，并求这个定点的坐标；
（3）当PQ≤2时，求实数m的取值范围．
【解析】：（1）∵y＝mx² 2mx﹣3m﹣1＝m（x 1）2﹣4m﹣1，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣4m﹣1）；
（2）∵y＝mx² 2mx﹣3m﹣1＝m（x 3）（x﹣1）﹣1，
∴该二次函数的图象必过定点（﹣3，﹣1）和（1，﹣1）；
（3）二次函数y＝mx² 2mx﹣3m﹣1（m≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，
当PQ≤2时，则P点的横坐标为﹣2≤x1＜﹣1，Q点的横坐标为﹣1＜x2≤0，
把x＝﹣2，y＝0代入y＝mx² 2mx﹣3m﹣1得4m﹣4m﹣3m﹣1＝0，
解得m＝﹣1/3，
把x＝0，y＝0代入y＝mx² 2mx﹣3m﹣1得0 0﹣3m﹣1＝0，
解得m＝﹣1/3，∴m的取值范围为m≤﹣1/3．
例3. 如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x 1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点．
【解析】：（1）∵A点为直线y＝x 1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），
又B点横坐标为2，代入y＝x 1可求得y＝3，∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y＝ax² c，
例4．（宿迁中考题）如图，已知抛物线y＝ax² bx c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a＝1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
【解析】：（1）∵抛物线y＝ax² bx c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）．
（2）解法一：
设直线BD的解析式为y＝kx b，∵B（8，0），D（0，4），
∴当m＝2时，△BDM的面积有最大值为36．
（3）如答图3，连接AD、BC．
由圆周角定理得：∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．
例5．对于二次函数y＝x²﹣3x 2和一次函数y＝﹣2x 4，把y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）称为这两个函数的"再生二次函数"，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）的顶点坐标为_______；
（2）请你直接判断点A是否在抛物线E上_____；（填是或不是）
（3）n的值等于_____．
【发现】
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，你认为定点的坐标为 ．
【应用一】
二次函数y＝﹣3x² 5x 2是二次函数y＝x²﹣3x 2和一次函数y＝﹣2x 4的一个"再生二次函数"吗？如果是，求出t的值；如果不是，请说明理由；
【应用二】
若抛物线E与x轴的另一个交点为C，△ABC的面积等于6，求抛物线E的解析式．
【解答】：【尝试】
（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）＝2x²﹣4x＝2（x﹣1）²﹣2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
（2）∵将x＝2代入y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4），得 y＝0，
∴点A（2，0）在抛物线l上，
故答案为：是；
（3）将x＝﹣1代入抛物线l的解析式中，得：
n＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）＝6，
故答案为：6；
【发现】
∵将抛物线E的解析式展开，得：
y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）＝t（x﹣2）（x 1）﹣2x 4，
∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6），
故答案为：（2，0）、（﹣1，6）；
【应用一】
将x＝2代入y＝﹣3x² 5x 2，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝﹣1代入y＝﹣3x² 5x 2，计算得：y＝﹣6≠6，
即可得抛物线y＝﹣3x² 5x 2不经过点B，
二次函数y＝﹣3x² 5x 2不是二次函数y＝x²﹣3x 2和一次函数y＝﹣2x 4的一个"再生二次函数；
【应用二】
由（1）得，抛物线E与x轴的一个交点为A（2，0），点B的坐标为（﹣1，6），
例6.如图，已知点M（-2，1）为抛物线y=１/４ｘ²上一点，过叶点M作MＡ⊥MB，分别交抛物线于A，B两点。求证：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
解析：大胆引入参数，构造相似三角形，综合运用根与系数关系，探寻参数间关系.
例7.如图，已知矩形ABCDO矩形A'B'C'D'，把矩形A'B'C'D'放置在矩形ABCD内，这表示矩形ABCD上的点到了新的位置，A→A'，B→B'，C→C'，D→D'，任一点P→P（P不在AB上）处，应有△PAB∽△P'A'B'.证明：一定有一个点Q与运动之后的Q'重合——也就是不动点.
解析：顺思逆想，先假设存在这样的点，由此出发推理，寻找Q点确定方法.
延长B'A'交直线AB于点E.
∵△A'B'Q∽△ABQ，∴∠QB'E=∠QBE，∴Q，B'，B，E四点共圆.
同理，延长A'D'交AD的延长线于F点，可证明Q，A'，A，F四点共圆.
∵B，B'，E与A'，A，F确定，故Q恒在B'，B，E所确定的圆上，又恒在A'，A，确定的圆上，只要分别作△B'BE和△A'AF的外圆，两圆的交点就确定Q点了.
怎样求出方程x³ 3x-1=0的实数解？
由原方程得x³ 4x-1=x，设x³ 4x-1=y①，此式反映了一个变换的规律，若将xo代入①式左端，计算之后仍是x0，则xo为①式的不动点，方程的求解问题可转化为某个变换下的不动点问题.
在数学中，寻找未知曲线、未知曲面、未知数串等问题，都可转化为寻找不动点问题.
不动点理论在博弈论、经济学等领域也有广泛应用.20世纪60年代，经济学家肯尼思·阿罗与杰拉德·德布鲁证明了在某些情况下自由市场导致经济最优的"不动点"，结果是价格设置在最正确的水平上.
总之，在中考中，一个动态问题中，当问题的条件和结论关系不明朗时，可恰当引元（参数），建立条件和结论的联系，使关系明朗化。引入参数，参与推导，消去参数，显露结论，这是引入参数解题的基本流程。
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