p级数

形如

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(1)

式中P、n均为正整数。其中当p=1时,公式如下,成为调和级数。

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(2)

调和级数求和我们已经知晓,

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(3)

式中 γ为 欧拉常数。

P级数数列

现有一P级数构成的数列,如下

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(4)

那么求前p项和为多少?

猛一看这道题真的很难讨论,因为p为偶数时,ap趋向于固定值。公式如下

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(5)

对任意的正偶数2n, 有

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(6)

其中, B2n指的 是第 2n个伯努利数。

当p为奇数时,一般用黎曼函数表示ζ(p)。但对于任意值p,有

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(7)

那么上述由p级数组成的数列,求和就变得扑簌迷离了。

不管他,我们先看一下自然数倒数之间的级数关系。

自然数倒数之间的级数关系表达式

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(8)

对于任意两个相邻的自然数倒数

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(9)

更一般地,对于任意两个自然数x与x a。它们之间倒数存在如下关系:

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(10)

有了上述关系,无疑给p级数求和提供了一个纵向参考,接下来我们研究一下p级数数列求和。

P级数数列求和

由P级数构成的数列如下

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(11)

那么P级数数列求和如下

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(12)

当P、n的值足够大,接近于无穷大时。根据自然数倒数之间的级数关系,可以得到以下近似关系式。

数列求和创新题及答案(P级数求和以及其组成的数列求和)(13)

从以上推理不难看出,看似复杂的由P级数组成的数列求和,最后化繁为简。其近似结果趋向于p+a1,其中调和级数a1=ln(n+1) γ

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