这是一系列关于数论的介绍性文章,目的在于推广数学知识,拓展读者的数学思维至于为什么用图文而不是视频?图文有三个优越性:一是图文数据量小,节省学习时间;二是有助于个人主动思考;三是文字里的关键字,可以方便读者查阅相关资料,今天小编就来说说关于数论素数与合数讲解?下面更多详细答案一起来看看吧!
数论素数与合数讲解
这是一系列关于数论的介绍性文章,目的在于推广数学知识,拓展读者的数学思维。至于为什么用图文而不是视频?图文有三个优越性:一是图文数据量小,节省学习时间;二是有助于个人主动思考;三是文字里的关键字,可以方便读者查阅相关资料。
哪些素数可表示成两个平方数之和?
这是个有趣的问题,对于小数字,可以进行计算验证。例如,5,10,65都是两个平方数之和。
一般来说,对于这个问题,有一个定理给出哪些素数p可以被表示成两个平方数之和。
定理 (素数的两平方数之和定理) 设p是素数,则p是两平方数之和的充要条件是
充要条件意味着,该定理等价于这两个陈述。
陈述1 如果p是两个平方数之和,则
陈述2 如果 则p是两平方数之和。
对于满足的p,可以使用费马降阶法。费马降阶法的基本原理如下:
首先寻找整数A,B,M,满足。
若M= 1,问题完成;若不是,则用A,B,M发现新的整数a,b,m,使得,且若m= 1,问题完成,若不是,重复上述过程。
该过程利用了一个恒等式,
流程如下:
首先得到,, M < p. |
选取u,v,使得,, |
注意到 |
得到 |
与相乘, 得到 |
利用 |
得到 |
两边除以,得到 |
重复此过程,获取某个r= 1,问题得解。 |
举个例子,解决 通过某些方法,得到利用费马降阶法计算如下:
选取数47,1, 使得, |
得到 |
得到, |
相乘得到 |
利用恒等式,得到, |
用相除两边,得到 ,可以看到13 远小于170. |
重复上述过程,可以得到。 |
费马降阶法可以作为一个家庭数学游戏,父母与子女一起操作。
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