大家好,这里是周老师数学课堂,欢迎来到头条号学习!
三角形的中位线定理不仅反映了图形间线段的位置关系,而且还揭示了线段间的数量关系.利用三角形的中位线定理可以解决许多与三角形相关的问题。
连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半。
题目中有中点,特别是一个三角形中出现两边的中点时,我们常考虑运用三角形的中位线来解决问题。具体操作时,要先找到三角形的中位线,然后利用中位线得出线段之间的关系,并由此建立待求线段与已知线段的关系,从而求出线段的长。下面老师通过例题讲解中位线定义的应用。
例:已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,
Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,点M是AF的中点,连接MB,ME.
⑴ 如图,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB//CF。
⑵ 如图,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长。
[解答]
证:⑴ 方法一 如图1a延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,
∴点B为线段AD的中点.
又∵点M为线段AF的中点,
∴BM为△ADF的中位线,
∴BM//CF。
方法二 如图1b,延长BM交EF于点D
∵∠ABC=∠CEF=90°,
∴AB丄CE,EF丄CE,
∴AB//EF,
∴∠BAM=∠DFM.
∵点M是AF的中点,
∴AM=MF.
∵在△ABM和△FDM中,
∠BAM=∠DFM,AM=FM,∠AMB=∠FMD,
∴△ABM≌△FDM(ASA),
∴AB=DF.
∵BE=CE-BC,DE=EF-DF,
∴BE=DE,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴∠EBM=45°.
∵在等腰直角△CEF中,∠ECF=45°,
∴∠EBM=∠ECF,
∴MB//CF。
[题干分析]
证法一:如图1a所示,延长AB交CF于点D,证明BM为△ADF的中位线即可;此方法直接运用中位线定理,也最简单。
证法二:如图1b所示,延长BM交EF于D,根据在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAM=∠DFM,根据中点定义可得AM=MF,然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等。
再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF,然后求出BE=DE,从而得到△BDE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°,从而得到∠EBM=∠ECF,再根据同位角相等,两直线平行证明MB∥CF即可得证,方法虽然有点复杂,但可以拓展我们的解题思路,锻炼我们驾驭知识运用的能力。
解⑵:方法一 如图2a,延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD=a,
AC=CD=√2a,
∴点B为AD的中点,又点M为AF的中点,
∴BM=½DF
分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=2√2a,
∴点E为FG中点,又点M为AF中点,
∴ME=½AG.
∴CG=CF=2√2a,CA=CD=√2a,
∴AG=DF=√2a,
∴BM=ME=½×√2a=√2/2a
方法二 如图,∵CB=a,CE=2a,
∴BE=CE-CB=2a-a=a.
∵△ABM≌△FDM,
∴BM=DM.
又∵△BED是等腰直角三角形,
∴△BEM是等腰直角三角形,
∴BM=ME=√2/2BE=√2/2a.
[题干分析]
解法一:如答图2a所示,作辅助线,推BM、ME是两条中位线;再根据中位线的定理求解即可
解法二:先求出BE的长,再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM,根据等腰三角形三线合一的性质可得EM丄BD,求出△BEM是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求解即可;
[解题反思]
本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判与性质和等腰直角三角形的性质。作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键,也是本题的难点。
三角形的中位线与中线的区别:三角形的中位线的两个端点均为三角形边的中点,它与第三边平行且等于第三边的一半;三角形中线的一个点是一边的中点,另一个端点是这边所对的顶点,它把三角形的面积二等分。
三角形的中位线定理,反映了三角形的中位线与第三边的双重关系:一是位置关系,二是数量关系。位置关系可证明两直线平行,数量关系可证明线段之间的倍分关系。
每个三角形都有三条中位线,三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形,因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半,每个三角形的面积为原三角形面积的四分之一。
综上所述,三角形的中位线定理的灵活远用,可以帮助进行边角的计算或推理论证,解决复杂的几何综合题。你们认为呢?
今天的分享就到这里,欢迎大家在评论区留下您的思路,让我们共同讨论,也许您的方法是最棒的。喜欢文章记得分享哦!,