小数乘法知识点整理
1、 积的扩大缩小规律：
1）在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大a倍，积也扩大a倍；一个因数不变，另外一个因数缩小为原来的1/a，积也缩小为原来的1/a
★例：如：一个因数扩大10倍；另一个因数不变，积也扩大10倍。
一个因数缩小为原来的1/100；另一个因数不变，积也缩小为原来的1/100。
★例：6.25 × 37 = 231.25
扩大100倍 不变 扩大100倍
625 × 37 = 23125
2）在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大b倍，积就扩大a×b倍。
· 例：6.25 × 0.3 = 18.75
扩大100倍 扩大10倍 扩大1000倍
625 × 3 = 18750
3）在乘法里，一个因数缩小为原来的1/a，另外一个因数缩小为原来的1/b，积就缩小为原来的1/（a×b）。
· 例： 625 × 3 = 1875
缩小为原来的1/100 缩小为原来的1/10 缩小为原来的1/1000
6.25 × 0.3 = 1.875
4）在乘法里，如果一个因数扩大a倍…，另外一个因数缩小为原来的1/b…，那么积的扩大或缩小就看a和b的大小，哪个大就顺从哪个。
· 例：625 × 3 = 1875
缩小为原来的1/100 扩大10倍 因为100>10所以是缩小。100÷10=10。所以缩小为原来的1/10
6.25 × 30 = 187.5
2、 积不变规律：
在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数缩小为原来的1/a，积不变。
★例： 扩大100倍
6.25×37=625×0.37 625×0.37=0.0625×3700
缩小为原来的1/100
3、 小数乘整数计算方法：
1） 先把小数扩大成整数
2） 按整数乘法乘法法则计算出积
3） 看被乘数有几位小数点，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：若积的末尾有0可以去掉
4、 小数乘小数的计算方法：
1） 先把小数扩大成整数
2） 按整数乘法乘法法则计算出积
3） 看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用0补足。（例：0.48×0.05 0.25×0.12）
· 例：1.8×0.92按整数乘法计算时，1.8是一位小数，把它扩大10倍，看作18；0.92是两位小数，把它扩大100倍，看作92，18×92＝1656，这样积就扩大1000倍，要得到原式1.8×0.92的积，就要把1656缩小为原来的1/1000，所以就从1656右边起数出三位，点上小数点，即1.8×0.92＝1.656。
· 注意：列竖式计算时，要将有效数位多的放在上面
（例：28×1.15 0.05×26）
5、 计算结果发现小数末尾有0的，要先点小数点，再把0去掉。顺序不可调换。
6、 积的小数位数等于两个因数的小数位数之和。
★例:0.56 × 0.04 = 0.0224
两位小数 两位小数 四位小数
注意：两位小数乘两位小数，积一定是四位小数（×）
例如：0.55×0.24，末尾有0。
7、 小数点的位移规律：
把一个小数扩大10倍、100倍、1000倍、……只要把小数点向右移动一位、两位、三位……位数不够时，要用"0"补足。
把一个小数缩小为原来的1/10、1/100、1/1000、……只要把小数点向左移动一位、两位、三位……位数不够时，要用"0"补足。
8、 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
★例：328×0.8＜328 328×1.8＞328
相 同 相 同
因为0.8＜1 ，所以328×0.8＜328 因为1.8＞1 ，所以328×1.8＞328
9、 小数的四则混合运算和整数相同，都是先算乘法和除法，再算加法和减法，有小括号的要先算小括号里的。
10、 乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简便。
乘法交换律 a×b=b×a
乘法结合律 a×(b×c)＝(a×b)×c
乘法分配律 a×(b c)=a×b a×c a×(b—c)=a×b — a×c
例题：（1）12.5×0.4×2.5×8 （2）9.5×102
（3）4.2×7.8＋2.2×4.2 （4）0.78×9 0.78
（5）5.5×9.8 （6）13.8×5.1－3.8×5.1
（7）1.25×（8＋0.8） （8）6.9×0.99－5.9×0.99
（9）0.25×48 （10）2.6×10.1
（11）12.5×3.2×0.25 （12）9.9×2.5
（13）3.83×1.5＋7.17×1.5－1.5 （14）23.14×75＋2314×0.25
（14）0.025×0.2×1.25×0.04×0.8×0.5
（15）45.2×66.7 66.7×53.8 66.7
（16）11.11×6666＋7778×33.33
11、 积的近似数：保留a位小数，就看第a 1位，再用四舍五入的方法取值。
保留整数：表示精确到个位，看十分位上的数；保留一位小数：表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数：表示精确到百分位，看千分位上的数；……
★例：2.0表示精确到十分位，2表示精确到个位，2.0比2更接近准确数，所以末尾的0不能去掉。（2与2.0大小相同，精确度不同）
12、(1)按题目要求用"四舍五入法"保留一定的小数位数，求积的近似值。
★例：1.6×0.38≈0.61(得数保留两位小数)
(2)按实际需要用"四舍五入法"保留一定的小数位数，求积的近似值。
★例：一种苹果每千克1.44元，买3个苹果1.67千克。应付多少元?
1.44×1.67＝2.4048≈2.40(元)
答：应付2.40元。
生活中人民币最小单位常常是"分"，因此以元为单位一般保留两位小数。
（3）一个两位小数用"四舍五入法"保留一位小数后得到3.0，这个小数最小是（ ），最大是（ ）
最小是：末位减1后在最后面添个5（3.0末位减1得2.9，后面添5得2.95）
最大是：最后面直接添个4（3.0后面添个4得3.04）
13、小数乘法的意义：
小数乘整数的意义：求几个相同数和的简便运算。
★例：：3.14×4表示：4个3.14相加或3.14的4倍是多少。
一个数乘以小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
★例：2.4×0.5表示：2.4的十分之五是多少。
7×0.16表示：37的百分之十六是多少。
8.39×0.308表示：8.39的千分之三百零八是多少。
小数除法知识点整理
1、 小数除以整数的计算方法：
1) 按照整数除法的法则去除
2) 商的小数点要和被除数的小数点对齐
3) 如果除到被除数的末尾仍有余数就在后面添上0再继续除。
4) 除得的商的哪一位上不够商1就要在那一位上写0占位。
2、 小数除以小数的计算方法
1) 一看：看清除数是几位小数，除数的小数点就向右移动几位；
2) 二移：被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数位数不足时，用"0"补足。（依据：商不变的性质）
3) 三算：按照小数除整数的计算法则进行计算。
4) 商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。
例：连续补0与哪一位不够除，就在那一位上商0
3.7÷0.12（得数保留一位小数） 7.3÷1.8（得数保留两位小数）
7.525÷0.38（得数保留两位小数）
3、 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
4、 （1）被除数不变，除数扩大a倍，商缩小为原来的1/a；
被除数不变，除数缩小为原来的1/a，商扩大a倍。
（2）被除数扩大a倍，除数不变，商扩大a倍；
被除数缩小为原来的1/a，除数不变，商缩小为原来的1/a。
（3）被除数扩大10倍，除数缩小为原来的1/10，商扩大100倍；
被除数缩小为原来的1/10，除数扩大10倍，商缩小为原来的1/100.
例1：已知17÷25=0.68
1.7÷2.5=（ ）
17÷250=（ ） 17÷2.5=（ ）
170÷25=（ ） 1.7÷25=（ ）
170÷2.5=（ ） 1.7÷250=（ ）
5、 求商的近似值：计算时要比保留的小数多一位。
求积的近似值：计算出整个积的值后再去近似值。
6、 保留商的近似值，小数末尾的0不能去掉。
7、 循环小数的定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
8、 是循环小数必须满足的条件：1、必须是无限小数。2、一个数字或者几个数字依次不断重复出现
9、 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的一个数字或者几个数字，叫做这个循环小数的循环节；如5.33……循环节是3。 7.14545……的循环节是45。
10、 循环小数的简便记法：省略后面的"……"号，在第一个循环节上加点。如：5.33……=5.3，读作五点三，三循环7.14545……=7. 145 ,读作七点一四五，四五循环。
如果循环节有三个及以上，就在头尾的数字上打点。如7.123123……=7. 123
例：1、比较大小时要将循环节展开进行比较。
2、2.7÷11的商用循环小数表示是（ ），保留两位小数是（ ）。
11、小数可以分为无限小数和有限小数。小数部分位数有限的叫有限小数，小数部分位数无限的叫无限小数。
例：2.9÷16 能除尽
12、循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。
13、取商的近似值的方法："四舍五入"法、"进一法"和"去尾法"
在解决问题的时候，可以根据实际情况选择"进一法"和"去尾法"取商的近似值。
"进一法"：不论结尾是多少，都向前进一位；
需要几个袋子盛，不管剩下几个球，都必须再拿一个袋子；
需要几条船，不管剩下几个人，都必须再有一条船，所以用进一法。
例：某公司有30.8吨的货物需要装运，每辆汽车最多可以装6吨，需要几辆汽车？
"去尾法"：不论结尾是多少，都舍去；
最多能做多少套衣服，最多能装几个礼盒，最多买回几个篮球，不管剩下多少，都不能再组成完整的一份，所以用去尾法。
例：做一套衣服用布2.4米，28米长的布最多能做多少套衣服?
14、竖式中的小数点和数位的对齐方式：在加法和减法中，必须小数点对齐；在乘法中，要末尾对齐，在除法时，商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。
15、除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
推广(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c或(a－b)÷c=a÷c－b÷c
（1）21.8－7.22－2.78 （2）10.1÷2.5
（3）2.2÷0.25÷4
16、常见数量关系：
总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价
路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
17、比较大小：
除数＜1，商＞被除数；
除数＞1，商＜被除数；
除数＝1，商＝被除数；
被除数＞除数，商＞1；
被除数＜除数，商＜1。
18、中括号运算顺序：
（1）0.25×[（2.8 4.4）÷1.2]（2）[0.15＋（2.4－1.8）]×20
（3）13.2÷[20.5－（3.6＋5.9）] （4）18.8÷[（8.5＋11.5）÷2]
（5）给"326－5.8×12＋7.8÷0.03"添加合适的括号，使算式按
"－→×→＋→÷"的顺序计算。
19、两个工程队修121千米的路，甲队每天修3.8千米，乙队每天修4.7千米。甲队先工作5天后，两队合修，还需要几天才能修完？
图案美---图形变化
轴对称图形
1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线
（虚线、尺子、露头）
2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。
3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。
4、在方格纸上补全轴对称图形关键：
找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。
5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。
平移
1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。
注意：平移只是沿水平方向左右移动（×）
平移不仅仅局限于左右运动。
2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。
将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。
3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。
4、在方格纸上平移图形的方法：
（1）找出图形的关键点；
（2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；
（3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。
注意：用箭头标明平移方向（→）
旋转
1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。
2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；
与时针运动方向相反的是逆时针方向；
3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。
4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。
5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。
6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。
7、简单图形旋转90°的画法：
（1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线；
（2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点；
（3）参照原图形顺次连接所画的对应点。
关键线段：水平的、竖直的、过旋转点的线段。
认识方程---解方程的方法
方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20
方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：方程就是一架天平， "="两边是平衡的，一样重！
1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
（2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。
2. 加减乘除法的变形：
(1) 加法：a b = 和 则 a = 和－b b = 和－a
例：4 5=9 则有：4=9-5 5=9-4
(2) 减法：被减数a – 减数b = 差 则：
被减数a = 差＋减数b 被减数a－差 = 减数b
例：12-4=8 则有：12=8 4 12-8=4
(3) 乘法：乘数a × 乘数b = 积 则：
乘数a = 积 ÷ 乘数b 乘数b= 积 ÷ 乘数a
例：3×7=21 则有：3=21÷7 7=21÷3
(4) 除法：被除数a ÷ 除数b = 商 则：
被除数a= 商 × 除数b 除数b=被除数a ÷ 商
例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9
解方程的步骤：
1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是"－"，去掉括号要变号；括号前边是"＋"，去掉括号不变号。
2、符号过墙魔法，越过"="时，加减号互变，乘除号互变。
注意两点：（1）带未知数的放左边，不带未知数的放右边。
3、带未知数的要合并（如2x＋4x=6x）；不带未知数的直接加减计算。
4、验算：将原方程中的未知数换成求出来的数，检查等号两边是否相等！
注意：（1）做题开始要写"解：" （2）上下"="要始终对齐
多边形面积知识点
1、长方形面积=长×宽 字母公式：s=ab
长方形周长=(长＋宽)×2 字母公式：c=(a＋b)×2
（长=周长÷2-宽； 宽=周长÷2-长）
★长方形中面积、周长与长和宽之间的变化关系：
（1）长方形的长加宽等于长方形周长的一半。即 a b = c ÷ 2
（2）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
2、正方形面积=边长×边长 字母公式：s= a²或者s=a×a
正方形周长=边长×4 字母公式：c=4a
3、平行四边形面积=底×高 字母公式：s=ah
★平行四边形面积公式的推导过程：剪拼、平移
沿着平行四边形的任意一条高剪开，将其一部分平移与另一部分正好拼成一个长方形，这个长方形的长就是平行四边形的底，这个长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。
★等底等高的平行四边形面积相等。
4、三角形面积=底× 高÷2 字母公式：s=ah÷2
（底=面积×2÷高； 高=面积×2÷底 ）
★三角形面积公式的推导过程： 旋转、平移
将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底就是三角形的底，拼成的平行四边形的高就是三角形的高，拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。一个三角形的面积是这个平行四边形的面积一半。因为平行四边形的面积等于底×高，所以三角形的面积等于底×高÷2。用字母表示S=a×h÷2。
★等底等高的三角形面积相等。
★等底等高的三角形和平行四边形面积关系：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。
5、梯形面积=(上底＋下底)×高÷2 字母公式：s=(a＋b)×h÷2
（上底=面积×2÷高－下底；下底=面积×2÷高-上底； 高=面积×2÷（上底 下底））
★梯形面积公式的推导过程： 旋转、平移
将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，拼成的平行四边形的面积是每个梯形面积的2倍，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2 用字母表示S=（a＋b）×h÷2.
6、计算圆木、钢管等的根数： (顶层根数 底层根数)×层数÷2
7、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。
8、有关规律：
（1）在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。
（2）用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积变小了，因为底不变，高变小了；如果将平行四边形框架拉成一个长方形，则他们的周长不变，面积变大了。
（3）三角形和平行四边形面积相等时，若高相等，则三角形的底是平行四边形的2倍，平行四边形的底是三角形的一半。
（4）三角形和平行四边形的面积相等时，若底相等，则三角形的高是平行四边形的2倍，平行四边形的高是三角形的一半。
（5）三角形和平行四边形等底等高时，则三角形的面积是平行四边形的一半，平行四边形的面积是三角形的2倍。
（6）在直角三角形中，斜边最长。
（7）在直角三角形中，斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边。
9、1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方米=10000平方厘米
1时=60分
倍数与因数
自然数：用来表示物体个数的1、2、3、4……叫做自然数。一个物体也没有，就用0表示，0也是自然数。最小的自然数是0。
一、因数与倍数的意义
1、如果自然数a乘自然数b等于c，即a×b=c，我们就说a和b是c的因数，c是a和b的倍数。但要注意我们在研究因数和倍数的时候，所说的数是指自然数（一般不包括0）。
2、如果a和b是c的因数，c是a和b的倍数，我们有时也说a和b能整除c，或者说c能被a和b整除。
3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4、倍数和因数表示的是两个数的关系，不能说谁是因数或谁是倍数，必须说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。
5、找一个数的因数的方法：找一个数的因数要一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个数就是这个数的因数，如果两个因数相同只取一个。一般从1和它本身找起。
找一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，一般从这个数的1倍，2倍，3倍。。。依次来找。
6、一个数的最小倍数和它的最大因数相等，这个数就是它本身。
7、a是b的倍数，b是c的倍数，那a一定是c的倍数。
例如：12是6的倍数，6是3的倍数，那12也是3的倍数。
8、找两个数共同的倍数
二、2、5、3的倍数的特征
（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8。
（2）5的倍数的特征：个位上是0或5。
（3）同时是2、5倍数的特征：个位上是0。
（4）3的倍数的特征：各个数位上的数字相加之和是3的倍数。
（5）9的倍数的特征：各个数位上的数字相加之和是9的倍数。
三、偶数与奇数
（1）自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。
偶数的特点：个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。
奇数的特点：个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。
（2）自然数分为偶数和奇数两类；
自然数除了偶数就是奇数；
最小的偶数是0，最小的奇数是1。
（3）偶数与奇数的性质
奇数 奇数=偶数 奇数-奇数=偶数 偶数 偶数=偶数 偶数-偶数=偶数
奇数 偶数=奇数 奇数-偶数=奇数 偶数-奇数=奇数
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数÷奇数=偶数
（4）相邻的两个自然数差1，相邻的两个奇数差2，相邻的两个偶数差2；
三个连续的奇数可以写为n-2、n、n 2（n为奇数）；
三个连续的偶数可以写为n-2、n、n 2（n为偶数）；
三个连续的自然数可以写为n-1、n、n 1；
已知三个连续奇数的和，求这三个数：用和除以3，得到的是中间的数。
四、质数和合数
（1）质数：一个数，如果只有1和他本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
（2）合数：一个数，如果除了1和它本身还有其他的因数，这样的数叫做合数。
合数最少有三个因数。
（3）1既不是质数，也不是合数。
（4）按因数的个数多少给自然数（0除外）分类，可分为：质数、合数和1。
按是不是2的倍数给自然数分类：奇数和偶数。
（5）最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的质数是2，最小的合数是4。
（6）除2外，所有的质数都是奇数；（2是唯一的偶质数）
在自然数中即是偶数又是质数的是2；
除2外，所有的偶数都是合数。
除2外，任何一个质数加上1所得的数一定是偶数。
（7）100以内的质数表：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 共25个。
1—20的质数有 2 3 5 7 11 13 17 19共8个，
1—20的合数有 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20共11个
注意几个易看成质数的合数：51、87、91
（8）开关灯问题：一定要确定好物体的原始状态。再根据原始状态确定第1次和第2次。奇数次与第一次相同，偶数次与第二次相同。
五、分解质因数
（1）什么叫质因数？
每个合数可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。
（2）什么叫分解质因数？
把一个合数写成几个质因数相乘的形式叫做分解质因数。
（3）分解质因数的方法：通常用短除法
除数一定是质数，一般从最小的质数开始除，如果商是合数，那么就一直除下去，
直到商是质数为止，然后把各个除数和商写成相乘的形式。
（4）易错：78=2×3×13 121=11×11 91=7×13
折线统计图
1、我们学过的统计图有：条形统计图和折线统计图。
2、条形统计图：可以清楚地看出数量的多少，便于比较；
折线统计图：既可以清楚地看出数量的多少，又可以看出数量的增减变化情况
3、折线统计图的画法：描点、标数、顺次连线。
注意：不要忘记标数，用直尺划线。
4、数量是用多、少来形容；增减变化是用快、慢来形容。
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