几何数学模型(有趣的数学寻找最后的阿基米德多面体)(1)


上期回顾:

在上一篇“有趣的数学|最强大脑里的阿基米德多面体原来是这样”中,魔法君为大家讲解了柏拉图多面体以及五种截角多面体,在这一篇中我们将会继续为大家讲解什么是“截半”“斜方”“扭棱”阿基米德多面体。

“截半”与“截角”类似,只不过切割点变为了每条棱的中点,故称为“截半”。“截半”产生的新截面是比“截角”大一圈的同种正多边形,而原始柏拉图多面体的所有面变为了小一圈的同种正多边形。

这样得到的多面体也必然满足半正多面体的两个条件,所以我们得到了两种截半体。


为什么是“两种”呢?

这时候就要用到之前提到的对偶性了。大家不妨在脑海中切割一下正方体和正八面体,你会发现两者截半后得到了相同的多面体。

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切割立方体

所以截半立方体就是截半八面体。

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截八面体

同理,截半二十面体就是截半十二面体。

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截半十二面体

至于正四面体,四刀下去,我们得到了一个正八面体,故不再记作一种阿基米德多面体。

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正四面体

接下来是四种斜方体,比较复杂。

斜方体是由截半体切割而来,两种截半体和两种切割方式产生了4种斜方体。

以较为简单的截半立方体为例,作出所有棱的中点,连接同一顶点附近的四个中点,以此为截面切割,使得所有原始三角形变为小一圈的三角形,所有正方体变为小一圈的正方形。同时,对应着截半立方体的十二个顶点,产生十二个新的正方形的截面。这种切割方式与“截半”类似,得到的多面体称为小斜方截半立方体。

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截半立方体

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小斜方截半立方体

若是作出截半立方体所有棱的三等分点,连接同一顶点附近的四个三等分点,以此为截面切割,使得所有原始三角形变为正六边形,所有原始正方形变为正八边形,并产生十二个新的正方形的截面,这样就得到了大斜方截半立方体,也不难发现这种切割方式与“截角”类似。

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大斜方截半立方体

同样的,对截半二十面体进行“截半”和“截角”,分别可以得到小斜方截半二十面体和大斜方截半二十面体。

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小斜方截半二十面体和大斜方截半二十面体

现在,我们已经介绍完了11种由切割构造的阿基米德多面体。

喘口气,接下来欣赏一下两种最特别的阿基米德多面体——扭棱立方体和扭棱十二面体。

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扭棱立方体和扭棱十二面体

扭棱立方体和扭棱十二面体的特别之处首先体现在其构造方式上。这两者不能像前11种那样用简单的切割描述。

现在请各位在脑海中想像一个立方体。将立方体的六个面扭转一定的角度,同时向外推出,推到合适的位置,使得我们刚好可以用32个等边三角形填满6个正方形之间的空隙。

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示意图

这听起来很抽象。但是如果你能够想象出这一过程,就一定会被它的华丽优美深深吸引。

因为构造过程扭转了立方体的所有棱,故称为扭棱立方体。

几何数学模型(有趣的数学寻找最后的阿基米德多面体)(12)

扭棱立方体

用同样的方式可以构造出扭棱十二面体,将十二面体的所有面扭转一定的角度,同时向外推出到合适的位置,使得我们刚好可以用80个等边三角形填满12个正五边形之间的空隙,就得到了扭棱十二面体。

几何数学模型(有趣的数学寻找最后的阿基米德多面体)(13)

扭棱十二面体

现在,我们已经了解了两种扭棱体华丽的构造方式,但它们的特别之处还不止于此。

事实上,它们是极为罕见的“手性多面体”。

手性:

如果一个物体不能与自身的镜像重合,则该物体具有手性。

想象一下扭棱立方体的构造过程,如果扭转方向为顺时针,称得到的多面体为扭棱立方体A;如果扭转方向为逆时针,称得到的多面体为扭棱立方体B。

显然地,A与B的几何性质完全相同,但两者无论如何平移旋转都无法重合,一如镜子表里的两面。

扭棱十二面体也是如此。

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扭棱立方体A、B

至此,我们已经了解了全部13种阿基米德多面体。

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13种阿基米德多面体

但在结束之前魔法君还想讲一点题外话。

回想一下我们在上一篇“寻找阿基米德”的开头提到的多面体的对偶。事实上,多面体的对偶就是将一个多面体的顶点映射成面,面映射成顶点。

阿基米德多面体的全部顶点等价,故阿基米德多面体的对偶多面体的全部面等价。

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示意图

这13种多面体被称为catalan多面体,它们也具有极高的对称性。

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Catalan多面体

除此之外,还有数不尽的关于顶点、棱、面对称的凸多面体。

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凸多面体

除此之外,还有有坑的,长角的,打洞的,重合的多面体。

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示意图

除此之外,还有四维的,五维的对称几何体……

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四维的几何对称体

几何数学模型(有趣的数学寻找最后的阿基米德多面体)(21)

五维的对称几何体

如果有兴趣你们可以继续研究^_^

几何数学模型(有趣的数学寻找最后的阿基米德多面体)(22)


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