不经意间翻到几年前我手算自然数幂求和的笔记。整理及补充。

自然数求和,即求形如的求和,利用基础的计算规则进行运算。

一、当k=1时,,即中学时等差数列求和。得:

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(1)

自然数1次幂求和

二、当k=2时,

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(2)

自然数2次幂求和计算过程

三、 当k=3,

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(3)

自然数3次幂求和计算过程

四、以下推导一般式:

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(4)

执行等式组S运算:

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(5)

运算完毕。有没有想到,竟然可以直接表示出来。

五、利用以上代数式计算自然数幂求和

自然数4次方求和,k=4:

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(6)

自然数5次方求和,k=5:

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(7)

随着k增大运算量增大,k大于5谨慎笔算,费眼又费脑,极易出错,可借助相关工具计算。

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(8)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(9)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(10)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(11)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(12)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(13)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(14)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(15)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(16)

六、以上为利用公式计算的10个结果。

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(17)

利用有关工具编写计算代码,计算自然数k次幂和,得到最高次幂为k 1的多项式,然后进行因式分解。得到结果时进行验算,利用Excel验证是一种很简单便捷的方法。

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(18)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(19)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(20)

自然数的升幂求和(自然数幂求和-计算量风暴)(21)

有兴趣的小伙伴自行写出以上常规形式的计算公式。

七、按照上述公式有如下规律:

k为偶数时,自然数幂求和公式里均有因式: ;

k为奇数时,自然数幂求和公式里均有因式:,且k>1时有因式 。

该方法的弊端是要想计算自然数k次幂求和,需先计算自然数k-1次幂求和,反复迭代才可求得。

,