不经意间翻到几年前我手算自然数幂求和的笔记。整理及补充。
自然数求和，即求形如的求和，利用基础的计算规则进行运算。
一、当k=1时，，即中学时等差数列求和。得：
自然数1次幂求和
二、当k=2时，
自然数2次幂求和计算过程
三、 当k=3，
自然数3次幂求和计算过程
四、以下推导一般式：
执行等式组S运算：
运算完毕。有没有想到，竟然可以直接表示出来。
五、利用以上代数式计算自然数幂求和
自然数4次方求和，k=4：
自然数5次方求和，k=5：
随着k增大运算量增大，k大于5谨慎笔算，费眼又费脑，极易出错，可借助相关工具计算。
六、以上为利用公式计算的10个结果。
利用有关工具编写计算代码，计算自然数k次幂和，得到最高次幂为k 1的多项式，然后进行因式分解。得到结果时进行验算，利用Excel验证是一种很简单便捷的方法。
有兴趣的小伙伴自行写出以上常规形式的计算公式。
七、按照上述公式有如下规律：
k为偶数时，自然数幂求和公式里均有因式： ；
k为奇数时，自然数幂求和公式里均有因式：，且k>1时有因式 。
该方法的弊端是要想计算自然数k次幂求和，需先计算自然数k-1次幂求和，反复迭代才可求得。
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