经常听到程序员吐槽“数学好难！”而程序员在编程中却又少不了这数学基础。编程的基础是计算机科学，计算机科学的基础就是数学。
我们都知道，只有学好数学才能打好编程的地基，写出健壮的程序。但还是会有人说“但我数学就是不好啊”。特别是很多人“一碰到算式就跳过不读”。坦率而言，我也曾这样过。
但是看了《程序员的数学》以后，我很确信是我以前打开数学的方式不对，而让我对数学产生了某种误解。
《程序员的数学》由图灵出版，由日本资深技术作家结城浩著作。书中尽可能减少了“大家不想看的算式”，也省去了过多的定义、定理和证明。单纯是为帮助程序员更容易理解编程而写的书。真的是受益匪浅，特别是在编程中的“数学思维”方面！下面我们根据书中的讲解来重新认识一下编程中的数学吧。
结城浩著作还有《数学女孩》《数学女孩2：费马大定理》《数学女孩3：哥德尔不完备定理》《数学女孩4：随机算法》《图解密码技术（第3版）》，点击链接可以试读。
众所周知，我们人类使用 10进制，计算机使用 2进制，这样的按位计数法中，0在其中所起的作用是什么？乍一看， 0仅仅是表示 “什么都没有 ”的意思，而实际上它具有创建模式、简化并总结规则的重要作用。
0 的故事——无即是有
◎◎课前对话
老师：1，2，3 的罗马计数法是I，II，III。
学生：加法很简单嘛。I II，只要将3 个I 并排写就行了。
老师：不过II III 可不是IIIII，而是V 喔！
学生：啊，是这样啊！
老师：没错，如果数目变大，那数起来可就费劲啦！
小学一年级的回忆以下是小学一年级时发生的事，我依然记忆犹新。
“下面请打开本子，写一下‘十二’。”老师说道。于是，我翻开崭新的本子，紧握住削尖了的铅笔，写下了这样大大的数字。
老师走到我跟前，看到我的本子，面带微笑亲切地说：“写得不对喔。应该写成12 喔。”
当时我是听到老师说“十二”，才写下了10 和2。不过那样是不对的。众所周知，现在我们把“十二”写作12。
而在罗马数字中，“十二”写作XII。X 表示10，I 表示1。II 则表示两个并排的1，即2。也就是说，XII 是由X 和II 组成的。
如同“十二”可以写作12 和XII，数字有着各种各样的计数法。12 是阿拉伯数字的计数法，而XII 是罗马数字的计数法。无论采用哪种计数法，所表达的“数字本身” 并无二致。下面我们就来介绍几种计数法。
10 进制计数法下面介绍10 进制计数法。
什么是10 进制计数法
我们平时使用的是10 进制计数法。
- 使用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共 10种。
这里的“种”指的是数字的种类，用来说明10 进制和2 进制中数字复杂程度的差异。如2561 中包含四种数字，而1010 中只包含两种数字。
- 数位有一定的意义，从右往左分别表示个位、十位、百位、千位……
以上规则在小学数学中都学到过，日常生活中也一直在用，是众所周知的常识。
在此权当复习，后面我们将通过实例来了解一下10 进制计数法。
分解2503
首先，我们以2503 这个数为例。2503 表示的是由2、5、0、3 这4 个数字组成的一个称作2503 的数。
这样并排的数字，因数位不同而意义相异。
- 2 表示“1000的个数”。
- 5 表示“100的个数”。
- 0 表示“10的个数”。
- 3 表示“1 的个数”。
综上所述，2503 这个数是2 个1000、 5 个100、0 个10 和3 个1 累加的结果。
用数字和语言来冗长地说明有些无趣，下面就用图示来表现。
如图，将数字的字体大小加以区别，各个数位上的数字2、5、0、3 的意义便显而易见了。
1000 是10×10×10，即 103（10 的3 次方），100 是10×10，即102（10 的2 次方）。因此，也可以写成如下形式（请注意箭头所示部分）。
再则，10 是101（10 的1 次方），1 是100(10 的0 次方)，所以还可以写成如下形式。
千位、百位、十位、个位，分别可称作103 的位、102 的位、101 的位、100 的位。10 进制计数法的数位全都是10n 的形式。这个10 称作10 进制计数法的基数或底。
基数10 右上角的数字——指数，是3、2、1、0 这样有规律地顺次排列的，这点请记住。
2 进制计数法
下面讲解2 进制计数法。
什么是2 进制计数法
计算机在处理数据时使用的是2 进制计数法。从10 进制计数法类推，便可很快掌握它的规则。
- 使用的数字只有 0、1，共2 种。
- 从右往左分别表示 1 位、2 位、4位、8 位……
用2 进制计数法来数数，首先是0，然后是1，接下去……不是2，而是在1 上面进位变成10，继而是11，100，101……
表1-1 展示了0 到99 的数的10 进制计数法和2 进制计数法。
表1-1 0 到99 的数的10 进制计数法和2 进制计数法
分解1100
在此，我们以2 进制表示的1100（2 进制数的1100）为例来探其究竟。
和10 进制计数法一样，并排的数字，各个数位都有不同的意义。从左往右依次为：
- 1 表示“8 的个数”。
- 1 表示“4 的个数”。
- 0 表示“2 的个数”。
- 0 表示“1 的个数”。
也就是说，2 进制的1100 是1 个8、 1 个4、0 个2 和0 个1 累加的结果。这里出现的8、4、2、1，分别表示23、22、21、20。即2 进制计数法的1100，表示如下意思。
如此计算就能将2 进制计数法的1100 转换为10 进制计数法。
由此可以得出，2 进制的1100 若用10 进制计数法来表示，则为12。
基数转换
接下来我们试着将10 进制的12 转换为2 进制。这需要将12 反复地除以2（12 除以2，商为6 ；6 再除以2，商为3 ；3 再除以2……），并观察余数为“1”还是“0”。余数为0 则表示“除完了”。随后再将每步所得的余数的列（1 和0 的列）逆向排列，由此就得到2 进制表示了。
同样地，我们试将10 进制的2503 转换为2 进制计数法。
我们从图1-2 可以知道2503 用2 进制表示为100111000111。各个数位的权重如下：
在10 进制中，基数为10，各个数位是以10n 的形式表现的。而2 进制中，基数为2，各个数位是以2n 的形式表现的。从10 进制计数法转换为2 进制计数法，称作10 进制至2进制的基数转换。
计算机中为什么采用2 进制计数法
计算机中一般采用2 进制计数法，我们来思考一下原因。计算机在表示数的时候，会使用以下两种状态。
- 开关切断状态
- 开关连通状态
虽说是开关，但实际上并不需要机械部件，你可以想象成是由电路形成的“电子开关”。总之，它能够形成两种状态。这两种状态，分别对应0 和1 这两个数字。
- 开关切断状态 … 0
- 开关连通状态 … 1
1 个开关可以用0 或1 来表示，如果有许多开关，就可以表示为许多个0 或1。你可以想象这里排列着许多开关，各个开关分别表示2 进制中的各个数位。这样一来，只要增加开关的个数，不管是多大的数字都能表示出来。
当然，做成能够表示0 ～ 9 这10 种状态的开关，进而让计算机采用10 进制计数法，这在理论上也是可能的。但是，与0 和1 的开关相比，必定有更为复杂的结构。
另外，请比较一下图1-3 和图1-4 所示的加法表。2 进制的表比10 进制的表简单得多吧。
若要做成1 位加法的电路，采用2 进制要比10 进制更为简便。
不过，比起10 进制，2 进制的位数会增加许多，这是它的缺点。例如，在10 进制中2503 只有4 位，而在2 进制中要表达同样的数则需要100111000111 共12 位数字。这点从表1-2 中也显而易见。
人们觉得10 进制比2 进制更容易处理，是因为10 进制计数法的位数少，计算起来不容易发生错误。此外，比起2 进制，采用10 进制能够简单地通过直觉判断出数值的大小。人的两手加起来共有10 个指头，这也是10 进制更容易理解的原因之一。
不过，因为计算机的计算速度非常快，位数再多也没有关系。而且计算机不会像人类那样发生计算错误，不需要靠直觉把握数字的大小。对于计算机来说，处理的数字种类少、计算规则简单就最好不过了。
让我们来总结一下。
- 在 10进制计数法中，位数少，但是数字的种类多。
→对人类来说，这种比较易用。
- 在 2 进制计数法中，数字的种类少，但是位数多。
→对计算机来说，这种比较易用。
鉴于上述原因，计算机采用了2 进制计数法。
人类使用10 进制计数法，而计算机使用2 进制计数法，因此计算机在执行人类发出的任务时，会进行10 进制和2 进制间的转换。计算机先将10 进制转换为2 进制，用2 进制进行计算，再将所得的2 进制计算结果转换为10 进制。
按位计数法
什么是按位计数法
我们学习了10 进制和2 进制两种计数法，这些方法一般称作按位计数法。除了10 进制和2 进制以外，还有许多种类的按位计数法。在编程中，也常常使用8 进制和16 进制计数法。
● 8 进制计数法
8 进制计数法的特征如下：
- 使用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7共 8 种。
- 从右往左分别为 80 的位、81 的位、82 的位、83 的位……（基数是8）
● 16 进制计数法
16 进制计数法的特征如下：
- 使用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共 16种。
- 从右往左分别为 16º 的位、16¹ 的位、16²的位、16³ 的位……（基数是16）
在16 进制计数法中，使用A、B、C、D、E、F（有时也使用小写字母a、b、c、d、e、f）来表示10 以上的数字。
● N 进制计数法
一般来说，N 进制计数法的特征如下：
- 使用的数字有 0，1，2，3，…，N-1，共 N种。
- 从右往左分别为 Nº 的位、N¹的位、N² 的位、N³的位……（基数是 N）
例如，N 进制计数法中，4 位数a₃a₂a₁a。 为
不使用按位计数法的罗马数字
按位计数法在生活中最为常见，因此人们往往认为这种方法是理所当然的。实际上，在我们身边也有不使用按位计数法的例子。
例如，罗马计数法。
罗马数字至今还常常出现在钟表表盘上。
还有，在电影最后放映的演职员名单中，也会出现表示年号的MCMXCVIII 等字母。
这也是罗马数字。
罗马计数法的特征如下：
- 数位没有意义，只表示数字本身
- 没有 0
- 使用 I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000) 来记数
- 将并排的数字加起来，就是所表示的数。
例如，3 个并排的I（III）表示3，并排的V 和I（VI）表示6，VIII 表示8。
罗马数字的加法很简单，只要将罗马数字并排写就可以得到它们的和。比如，要计算1 2，只要将表示1 的I 和表示2 的II 并排写作III 就行了。但是，数字多了可就不太简单了。
例如，计算3 3 并不是把III 和III 并排写作IIIIII，而是将5 单独拿出来写作V，所以6 就应该写作VI。CXXIII（123） 和LXXVIII（78） 的加法， 也不能仅仅并排写作CXXIIILXXVIII，而必须将IIIII 转换为V，VV 转换为X，XXXXX 转换为L，再将LL 转换为C，如此整理最后得到CCI（201）。在“整理”罗马数字的过程中，必须进行与按位计数法的进位相仿的计算。
罗马计数法中还有“减法规则”。例如IV，在V 的左侧写I，表示5-1，即4（在钟表表盘上，由于历史原因也有将4 写作IIII 的）。
让我们试着将罗马数字的MCMXCVIII 用10 进制来表示。
可以发现，MCMXCVIII 表示的就是1998。罗马数字真是费劲啊！
指数法则10 的0 次方是什么
在10 进制的说明中，我们讲过“1 是10º（10 的0 次方）”，即10º=1。
也许有些读者会产生以下疑问吧。
10² 是“2 个10 相乘”，那么10º 不就是“0 个10 相乘”吗？这样的话，不应该是1，而是0 吧？
这个问题的核心在哪里呢？我们来深入思考一下。问题在于“10ⁿ 是n 个10 相乘”这部分。在说“n 个10 相乘”时，我们自然而然会把n 想作1，2，3…。因此，在说“0 个10 相乘”时，却不知道应该如何正确理解它的意义。
那么，暂且抛却“n 个10 相乘”这样的定义方式吧。我们从目前掌握的知识来类推，看看如何定义10º 比较妥当。
众所周知，10³ 是1000，10² 是100，10¹ 是10。
将这些等式放在一起，寻找它们的规律。
每当10 右上角的数字（指数）减1，数就变为原先的10 分之1。因此， 100 就是1。综上所述，在定义10ⁿ（n 包括0）的值时可以遵循以下规则：
指数每减1，数字就变为原来的10 分之1。
10的-1 次方是什么
不要将思维止步于10º 之处。对于10 的-1 次方，让我们同样套用这一规则（指数每减1，数字就变为原来的10 分之1）。
规则的扩展
首先让我们做一个小结。
我们学习了10ⁿ 计数法的相关内容。
起初，我们把n 为1，2，3…时，即10¹，10²，10³…想作“1 个10 相乘” 、“2 个10 相乘”、“3 个10 相乘”……
然后，我们抛却了“n 个10 相乘”的思维，寻找到了一个扩展规则：对于10ⁿ，n 每减1，就变成原来的10 分之1。
当n 为0 时，若套用“10ⁿ 为n 个10 相乘”的规则，着实比较费解。于是我们转而求助于“n 每减1，就变成原来的10 分之1”的规则”，定义出10º 是1（因为10¹ 的10 分之
1 就是1）。
对2º 进行思考
让我们用思考10º 的方法，也思考一下2º 的值吧。
由此可知，对于2ⁿ 来说，n 每减1，数值就变成原来的2 分之1。
2¹ 的2 分之1 是2º，那么2º=1。
在这里我想强调的是，不要将2º 的值作为一种知识去记忆，我们更需要考虑的是，如何对2º 进行适当的定义，以期让规则变得更简单。这不是记忆力的问题，而是想象力的问题。请记住这种思维方式：以简化规则为目标去定义值。
2的-1次方是什么
让我们参照10的-1次方 的规则来思考2的-1次方。2º 除以2，得到的是2的-1次方，即2的-1次方=½。
“2 的-1 次方”在直觉上较难理解。鉴于规则的简单化和一致性，2 的-1 次方可以定义为
综上所述，可以总结出如下等式：
看了上面的等式之后， 你应该就更能体会10º 和2º 为什么都等于1 了吧。
到这里，我们给之前所说的“规则”取名为“指数法则”。指数法则的表达式为
即“N 的a 次方乘以N 的b 次方，等于N 的a b 次方”法则（但N ≠ 0）。
0 所起的作用0 的作用：占位
例如，用10 进制表示的2503，它当中的0 起到了什么作用呢？ 2503 的0，表示十位“没有”。虽说“没有”，但这个0 却不能省略。因为如果省略了0，写成253，那就变成另一个数了。
在按位计数法中，数位具有很重要的意义。即使十位的数“没有”，也不能不写数字。这时就轮到0 出场了，即0 的作用就是占位。换言之，0 占着一个位置以保证数位高于它的数字不会产生错位。
正因为有了表示“没有”的0，数值才能正确地表现出来。可以说在按位计数法中0是不可或缺的。
0 的作用：统一标准，简化规则
在按位计数法的讲解中，我们提到了“0 次方”，还将1 特意表示成10º。使用0，能够将按位计数法的各个数位所对应的大小统一表示成10ⁿ。
否则，就必须特别处理“1”这个数字。0 在这里起到了标准化的作用。
如果从高到低各个数位的数字依次为
那么10 进制的按位计数法就能用以下表达式来表示：
按位计数法的各个数位也能统一写作
请注意：a右下角的k 和10的指数k 是一致的。
在上述表达式中，设n=3，a₃=2，a₂=5，a₁=0，a。=3，最后的结果是2503。
通过0 来明示“没有”，能够使规则简单化。在许多情况下，规则是越简单越好的。当你在面对问题的时候，是否也可以借助0 来使问题简单化呢？请想一想吧。
日常生活中的0
在我们的日常生活中，有时也会遇到像0 那样表示“没有”的情况。
●没有计划的计划
我们常常使用日程表来管理计划。在日程表中填入“案头工作”、“出差”、“研讨会”等计划。那么，和“0”相当的计划是什么呢？
例如，我们可以将没有计划的状况设定成“空计划”。通过在计算机的日程表中搜索“空计划”，就能找到没有计划的日期。这样一来，我们就既能搜索已有的计划，又能搜索“空计划”了。
还有，我们也可以将“预计不安排计划（即，将该时间空出来）”当作0 来考虑。在日程表中先将“预计不安排计划”的日程填写占位，然后再填写需要安排工作的日程。这样就不至于引起混乱。这正好与按位计数法中的0 起到的占位作用相似。
●没有药效的药
假设现在必须有规律地服用一种胶囊，每4 天停用1 次。也就是3 天服用，1 天停用，3 天服用，1 天停用，按照这种周期循环服药，有难度吧？
灵机一动，妙法自然来。那就每天都吃药吧。只是，每4 粒中有1 粒是“没有药效”的假胶囊。事先准备好标有日期的盒子，并在其中放入每天需要服用的药，不是更好吗？
这样一来，就无需判断“今天是服药日还是停药日”了。正因为有了“没有”药效的药，才形成了“每天服用一粒胶囊”的简单规则。
由此可见，这时的假胶囊与按位计数法中“0”所起的作用相同。
人类的极限和构造的发现重温历史进程
现今，10进制计数法已经深深地融入了我们的生活。然而这个过程经历了几千年的历史，涉及全世界的各式文明。下面我们就来快速回顾一下数学表述法的这段历史吧。
古埃及人使用5进制和10进制混合的计数法。5和10为一个单元，用记号标识，但是，他们的计数法不是按位计数法，当然也不存在0了。古埃及人将数字记在一种纸莎草纸（papyrus）上面。
巴比伦人在粘土板用菱形记号来表示数。他们使用1和10两种菱形记号来表示1~59，并通过记号的所在位置来表示60ⁿ的数位。由此，10进制和60进制混合的按位计数法就诞生了。现在通用的1小时为60分钟，1分钟为60秒的时间换算就是源于巴比伦的60进制计数法。粘土板和纸莎草纸有所不同，很难在上面书写多种不同的记号，因此，巴比伦人需要以尽可能少的记号来表示数。换句话说，也许正是因为粘土板的硬件限制，才促成了按位计数法的产生。
古希腊人不仅仅把数字当成运算工具，还在其中注入哲学真理。他们将图形、宇宙、音乐与数字相关联。
玛雅人数数时从0开始，使用的是20进制计数法。
罗马人使用5进制和10进制混用的罗马数字，以5为一个单元，记做V。以10为一个单元记做X，同样，将50、100、500、1000记做L、C、D、M。诸如IV表示4，IX表示9，XL表示40等，将数字列在左侧作为减法的表示法是后来制定的，古罗马时并不这样使用。
印度人在引进巴比伦的按位计数法的同时，清楚地认识到0也是数字。而且，他们用的是10 进制计数法。现在我们使用的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，被称为阿拉伯数字而不是印度数字，也许是因为将印度数字传入西欧的是阿拉伯学者的缘故吧。
光是讨论数字的表示法，就已经涉及了如此众多的国家和文明了。
为了超越人类的极限
这里，我们稍微思考一下更深层次的问题。为什么人类需要发明计数法呢？在罗马数字中，将1、2、3 记作I、II、III，将4 写作IIII 或IV，5 写作V。不过，将5 记作IIIII 好像也可以，却又为何不那么做呢？
答案显而易见。原因是：在这种表示方法下，数越大就越难处理。比如，IIIIIIIIII 和IIIIIIIIIII 哪个大？不能马上得知。而X 和XI 就能马上比较得出孰大孰小。如果光将I 排成一排，若要表示较大的数字就非常不便了。因此先贤们创造出了“单元”的概念。
为了表示较大的数而创造出“单元”的概念，看似是一件非常理所当然的事情。而实际上在这里却给了我们极其重要的启发。要表示“十二”，比起IIIIIIIIIIII，用XII 比较方便。若使用按位计数法，写成“12”则更方便。我们可以从中获得哪些启发呢？
那就是：将大问题分解为小“单元”。
如何高效地表示一个较大的数，对于古代的先人们来说是个重要的问题。对此历史给出了两种方法：10 进制计数法和按位计数法。由于人类的能力有限，因此必须开动脑筋，想出简便的计数法。如果人类对数有更高的认知能力，就不会发展出以“单元”表示的计数法了吧。
如今，人类发展到了能够发射火箭、分析基因信息的阶段，我们所处理的数据呈爆炸性增长。这样，按位计数法也显得力不从心了。1000000000000 和10000000000000 哪个大呢？很难一眼就看出来。这时，指数表示法显得异常重要。
刚才的两个数字若写作10的12次方 和10的13次方，便能一眼看出后者较大。指数表示法是着眼于0的个数的计数法。
问题不光停留在计数法上。在现代，我们使用计算机来解决人类难以处理的大规模问题。我们竭尽全力地编写程序，绞尽脑汁地思考如何在短时间内解决大规模问题。“将大问题分解为小‘单元’”的解决办法，至今依然适用。“要解决大问题，就将它分解成多个小‘单元’。如果小‘单元’还是很大，那就继续分解成更小的‘单元’，直到问题最终解决。”这种方法至今依然通用。比如在编写大程序的时候，一般会分解成多个小程序（模块）来开发。
总结本文通过按位计数法，思考了0 所起的作用。0 虽然没有实际的数量，却起到了占位的作用。正因为有了0，才能够实现简单的按位计数法。
另外，我们还学习了指数法则的相关内容。尤其是思考了如何定义0 次方才更为妥当。一定要在保持简单规则的前提下扩展概念，请大家一定要理解这点。
◎◎课后对话
学生：乐谱上的休止符也像0 呢。
老师：正是！它明确地表示不发音！
学生：0 与其说是“空”，还不如说是“填空”更恰当。因为它的作用是占位。
老师：说得对！这称作占位符。
学生：占位符？
老师：有了占位符才会产生模式，有了模式才会产生简单的规则。
学生：原来如此！正是通过0 这个占位符，才能实现简单的按位计数法！
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《程序员的数学》
面向读者
本书面向程序员介绍了编程中常用的数学知识，借以培养初级程序员的数学思维。本书主要面向的读者是程序员。不过若你对编程或数学感兴趣，读起来也会一样有意思。
你不需要精通数学。书中不会出现∑和∫等很难的算式，因此自认为数学不太好的读者也完全可以阅读。阅读本书只需具备四则运算（＋－ ×÷）和乘方（23=2×2×2）等基础知识。除此以外的知识在书中皆有说明。
如果你对数字和逻辑感兴趣，可能会更喜欢本书。
你也不需要精通编程。不过如果稍有一些编程经验，可能会更容易理解本书内容。书中有个别例子是用C 语言写的程序，不过即使不懂C 语言也不妨碍理解。
主要内容
书中讲解了二进制计数法、逻辑、余数、排列组合、递归、指数爆炸、不可解问题等许多与编程密切相关的数学方法，分析了哥尼斯堡七桥问题、高斯求和方法、汉诺塔、斐波那契数列等经典问题和算法。引导读者深入理解编程中的数学方法和思路。本书适合程序设计人员以及编程和数学爱好者阅读。
目录
前言
第1章 0故事——无即是有
第2章 逻辑——真与假的二元世界
第3 章 余数 ——周期性和分组
第4 章 数学归纳法 ——如何征服无穷数列
第5章 排列组合——解决计数问题的方法
第6章 递归——自己定义自己
第7章 指数爆炸——如何解决复杂问题
第8章 不可解问题——不可解的数、无法编写的程序
第9章 什么是程序员的数学——总结篇
相关图书：《程序员的数学2：概率统计》《程序员的数学3：线性代数》
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