有人说:“几何几何想破脑壳”不无道理。说明有些几何题确实有些难度,帕普斯定理的证明就是如此。

公元四世纪,古希腊数学家帕普斯提出了如下定理:如图,直线a上依次有点A,B,C,直线b上依次有点D,E,F,设AE,BD交于P,AF,DC交于Q,BF,EC交于R,则P,Q,R三点共线。

这一定理看似平淡无奇,所涉及的内容不过是点和直线,但要证明它倒有点无从下手,深不可测的感觉。下面是笔者的分析与证明过程。

如图1,分析:当ABFE是平行四边形时,证FR∶AP=FQ∶AQ,证∠3=

∠4得△FRQ∽△APQ,从而有∠2=∠1,得出P、Q、R三点共线。

证明:当ABFE是平行四边形时,∵BC∥EF,∴△BRC∽△FRE,

∴FR∶RB=FE∶BC,①,同理:EP∶AP=ED∶AB,②,①×②得:

等和线定理经典例题(帕普斯定理)(1)

直线AQF分别交GH于Q(Q点分GH于GQ,QH两条线段),MH于F(F点分HM于HF,FM两条线段即起点到分点的一条线段,分点到终点的一条线段),MG于A(A点分MG于MA,AG两条线段),∴

等和线定理经典例题(帕普斯定理)(2)

直线CRE分别交GH于C(C点分GH于GC,CH两条线段,即起点到分点的一条线段,分点到终点的一条线段),MH于R(R点分HM于HR,RM两条线段),MG于E(E点分MG于ME,EG两条线段),∴

等和线定理经典例题(帕普斯定理)(3)

(分析:我们是要证GQ/QH×HR/RM×MP/PG=1,然上面的式子并不等于1且较复杂,给我们有点误入歧途的感觉,难点就在这,我们不应该放弃或气馁,结论告诉我们HF•MA•GC•ME•GD•HB=FM•AG•CH•EG•DH•BM成立,实际上

△MGH还有两条截线:ABC和DEF,继续用梅氏定理,或许能证明。)

∵直线ABC截GH于C,HM于B,MG于A,∴

等和线定理经典例题(帕普斯定理)(4)

∵直线DEF截GH于D,HM于F,MG于E,∴

等和线定理经典例题(帕普斯定理)(5)

⑤×⑥得:GC•HB•MA•GD•HF•ME=CH•BM•AG•DH•FM•EG

即: HF•MA•GC•ME•GD•HB=FM•AG•CH•EG•DH•BM ⑦

比较④⑦两式得:

等和线定理经典例题(帕普斯定理)(6)

由梅氏定理得:P、Q、R三点共线,帕普斯定理证毕。

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