一、“米勒问题”及相关结论
1471年，德国数学家米勒提出了一个有 趣的问题：在地球表面什么部位， 一根垂直的 悬杆呈现最长?即在什么部位，视角最大?由 于该问题有德国数学家米勒提出，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”
米勒问题 如图1,已知A,B是平面内两个定点，C是直线l上一个动点，当C在何处时，∠ACB最大?
图1
米勒问题结论 作△ABC的外接圆O,当圆O 与直线l刚好相切于点C时，∠ACB最大.
图2
米勒问题证明 如图2,△ABC的外接圆O与直线l相切，C为切点.假设C'为直线l上异于点 C的任意一点，连结AC',BC'﹒设AC' 与圆O的交点为D,连结BD,则∠ADB= ∠ACB.又因 为∠ADB>∠AC'B,所以∠ACB>∠AC'B, 即∠ACB为最大角.
米勒问题评注 如图3,连结BA并延长，交直线l于点P,△ABC的外接圆与直线l相切于点C, 则由切割线定理，可得PC²= PA ·PB.由此可由PA,PB的长度来确定点C的位置.
图3
二、米勒问题在中考题中的应用
1.解决最大张角问题
例1 如图4,顶点为M的抛物线y=αx² bx 3与x轴交于 A(-1,0),B两点，与y轴交于点C,过点C作 CD⊥y轴交抛物线于另 一个点D,作DE⊥x轴，垂足为点E.双曲线y=6/x，(x>0) 经过点D,连结MD,BD .
图4
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N,F分别是x轴，y轴上的两点，当 M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时，求出点N,F的坐标；
(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，
当t为何值时，∠BPD的度数最大?(请直接写 出结果)
例1简析 (1)由A(- 1,0),D(2,3),易求抛 物线解析式为y= - x² 2x 3 .
( 3 ) 方法1 找切点，用半径
图5
如图5,作△PBD的外接圆G,连结DG, BG,PG,则由“米勒问题”,可知当圆G与y轴相切于点P时，∠BPD的度数最大.
设P(0,t),圆G的半径为r,则有
GB = GD = r, G(r,t).
由B(3,0), D(2,3)以及两点间距离公 式，可得
（r-2)² (t-3)²=r² ， （r-3)² (t-0)²=r²
解得 t1= 9 - 2√15 , t2 = 9 2√1 5 ( 舍去)
∴当t=9-2√15时，∠BPD的度数最大.
例1方法1评析 本题第(3)问是米勒的最大张角问题，只有熟悉了“米勒问题”的隐圆模型，学生才能快速找到解题思路，从而破解难点.
图6
例1方法2 利用切割线定理
如图6,延长BD交y轴于点H,则当P为 △PBD的外接圆与y轴的切点时，∠BPD的度数最大 .
由切割线定理，可得HP²= HD · HB.
易求直线BD的解析式为y= - 3x 9, ∴H点坐标为(0,9).
由此可求得HD=2√10,HB=3√10, ∴HP=√(HD ·HB) =2√15,
∴t=9-2√15
例1方法2评析 本解法是建立在熟悉“米勒问题” 的隐圆模型基础上，明确P即为△PBD的外接圆与y轴切点，从而联想到切割线定理，求得HP的长，进而求得P点坐标.
2.解决角的存在唯一性问题
图7
例2 如图7,在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经 过A(-2,0),B,C三点的抛物线y =ax² bx 8/3，(a<0)，与x轴的另一个交点为D,其 顶点为M,对称轴与x轴交于点E.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的3/4,求点R的坐标；
(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得∠PQE = 45°,求点P的坐标.
例2简析
(1)易求抛物线对应的函数表达式为y=-x²/3 2x/3 8/3
(3)易得抛物线的对称轴x=1,D(4,0), M(1,3),
∴yDM =-x 4, ∠MDE=45° .
显然，当点Q与点D重合时，P在M点或 在M点关于x轴的对称点上时，∠PQE =45°, 且符合唯一性，即此时P点坐标为(1,3)或 (1,- 3).
如图8,当在直线DM上存在唯一的不与点D重合的点Q,使得∠PQE=45° 时，作△PQE 的外接圆G,则∠PGE=90°,且GQ⊥DM .
图8
过点G作GF⊥ME于点F,交直线MD于点H,连结GP,则△GQH,△PEG和△MFH均 为等腰直角三角形.
设P点的坐标为(1,2m),则EF= FG = m,GQ=GP=√2m,GH=2m,
∴FH = 3m.
又MF = 3 - m , ∴3 - m = 3 m ,
解得m=3/4，∴P点坐标为（1，3/2）
综上，符合条件的P点有3个，分别是( 1, 3)，(1,-3),（1，3/2）
例2评析 本题的第(3)问本质上仍是米勒 最大张角问题.由于本题条件的特殊性，因此需先考虑Q点的特殊位置，即点Q与点D重合时的情况.当点Q不是点D时，问题可转化为在直线MD上找点Q,使得∠PQE的最大值为45°,此时点Q符合唯一性.这样角的存在唯一 性问题就转化为“米勒”最大张角问题，从而可构造隐圆来解决.
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