女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
自从阿拉伯柏柏尔穆斯林征服安达卢西亚，8世纪建立倭马亚哈里发帝国，直到15世纪格拉纳达沦陷，马格里布(Maghreb)的历史与安达卢西亚的历史紧密相连。不同民族人口的融合产生了一种文明，这种文明以其科学和文化传遍了全世界。这种文明特别有利于一种原始的、丰富多样的艺术的发展，这种艺术将几何学融入建筑装饰上出现的复杂图案的构造中。这种艺术形式经历了几个世纪的发展，从简单的绘画发展到复杂的几何形状，包括高度的对称性。
1.介绍
自公元8世纪科尔多瓦倭马亚哈里发帝国建立以来，摩尔工匠(摩洛哥人和安达卢西亚人)发展了一种原始且丰富多样的艺术，将几何图形融入建筑装饰上出现的复杂图案的构造中。
装饰是在石头、赤土砖、灰泥、木材、上釉陶瓷和金属上进行的。平面上装饰着几何图案和花卉图案以及书法。Mouqarnass，三维图案，通常装饰内部的拱顶和圆顶[1，2]。对称的概念一直存在于几何装饰艺术中。
这种高度程式化的艺术形式在安达卢西亚一直盛行到15世纪，并在北非特别是摩洛哥持续发展到现在。
科尔多瓦大清真寺、非斯的神学院和阿尔罕布拉宫是最具标志性的历史建筑，体现了西方伊斯兰世界黄金时代艺术和建筑的演变。
摩尔艺术已经发展了几个世纪，涉及到最广泛意义上的对称：和谐、秩序、一致性和不变性。装饰建筑和私人住宅的几何图案表明，自9世纪以来，摩尔建筑中就使用了高度对称的图案。
在这篇综述中，我们对说明和分析西方摩尔艺术中遇到的周期和准周期图案感兴趣。我们介绍了玫瑰花结的对称群和晶体群及其几个世纪以来的演变。出乎意料的是，某些伊斯兰装饰图案和准晶体结构之间的相似性引起了一些晶体学家的兴趣。他们用不同的方法分析了摩洛哥和阿尔罕布拉(安达卢西亚)以及伊斯兰世界东部的各种装饰性准周期图案[3-9]。在这里，我们提出了一个在14世纪建造的非斯Madrassa Attarine (MA)中发现的准周期模式的例子[10]。
2摩尔艺术中的对称性
2.1对称性的定义
最初，对称一词源于拉丁语symmetria，这是一个由罗马建筑师马库斯·维特鲁维乌斯·波利奥(Marcus Vitruvius Pollio)提出的建筑学术语，它又源于希腊语中的Summetria，即“公正的度量，比例”，源自与“(Metron，measure)”相同度量的对称性[11]。
它指的是构成整体美感的建筑各部分之间的比例。引申来说，它还包括在谈到一件艺术作品时，物体各部分的规律性和和谐的意思。多年来，对称的概念被简化为双边对称，但后来演变为包括保持不变中心的对称(点群对称)，以及通过平移在二维和三维空间重复建筑主题的空间对称(分别为平面和空间群对称)[12]。
在阿拉伯语中，除了和谐和规则之外，对称的概念(‘Atamathoul’或‘Atanaathore’)还意味着相似[13]。此外，Bahraini在他的书《训诂学:伊斯兰设计的方法论》中提到了1世纪Hegira(公元622年)的穆斯林训诂学，他从圣典的解释中解释说，Atamathoul’或Atanaathore也意味着不变性和冗余性，正如当今科学家所定义的那样[14]。
在数学上，如果一个对象在一组等距的应用下保持不变，那么它就是对称的。在平面上，这些等距可以是旋转、反射、滑移反射和平移。
在摩尔饰品中，我们会遇到两种类型的对称群:
(1)有限点群或玫瑰花群。
(2)一维空间中的无限空间群称为饰带群(1D)，二维空间中的墙纸群或晶体学平面群(2D)。
我们会模糊地使用术语“玫瑰花结”或“伊斯兰玫瑰花结”来指代通过有限数量的对称运算循环和可复制的装饰，即一个封闭的对称群。
在接下来的章节中，我们将只专注于玫瑰花对称群，也将讨论在西方伊斯兰世界的标志性建筑中发现的平面对称群。为了对玫瑰花群进行分类，我们使用Schoenflies表示法Cn(表示循环群)和Dn(表示二面体群)或Hermann moguin表示法nn’n”，nmm，其中n是主轴，n'和n''是其他对称轴，m是镜像平面。平面群将用Hermann moguin法表示，其中第一个符号表示一个晶格，其他三个是对称元素。例如，p6mm是表示一个图案的组，其基本晶格p，六重旋转轴和两个镜像mm。
2.2玫瑰花群
2.2.1.伊斯兰玫瑰花结的诞生
旋转对称和镜像对称在所有文明的艺术中都被广泛使用，包括著名的“基督教教堂的玫瑰花窗”。几何玫瑰花结是最早出现在伊斯兰背景中的玫瑰花结之一[15]，但之前已经在希腊和罗马的装饰品中使用过(图1)。
图1 罗马六重玫瑰花结-Volubilis(摩洛哥)，3世纪。
伊斯兰玫瑰花结出现在伊斯兰教诞生后的几个世纪，随着伊斯兰教的统治从中东向外扩展到西南欧、北非和南亚，它迅速传播开来。随着穆斯林世界的边界开始缩小，这种做法逐渐消失。今天，从西班牙到乌兹别克斯坦，伊斯兰建筑和图案随处可见，主要集中在西班牙、土耳其、伊朗和摩洛哥。西方伊斯兰世界最早的几何玫瑰花结很可能是在九世纪由来自东方伊斯兰世界的倭马亚王朝引入的[16]。图2展示了八世纪下半叶巴勒斯坦Khirbat al-Mafdjar的Ummayad宫殿接待穹顶上装饰的六重玫瑰花结。
图2 六重玫瑰花结-Khirbat al-MAF djar-8世纪
2.2.2 10世纪至15世纪间摩尔玫瑰花结的演变
循环几何图案可以在木头、大理石、灰泥或石头上雕刻或绘制，或者由烘焙的赤土瓦组装而成(这种风格被称为“Zellijs”)。这些图案通常装饰在天花板、墙壁或地板上，宫殿、清真寺、陵墓以及其他公共和私人建筑的入口。
几何环状玫瑰花结及其星形变体将作为一个独立的完整主题及其在各种有限或无限周期图案中的应用进行分析某些主要旋转对称形式的存在和频率需要一些背景讨论，涉及各种循环对称图案的几何约束和限制。
假设最初的工匠只使用圆规和直尺，最常见的工具，来设计和绘制循环图案，他们面临着对称形式的严重限制，即使是孤立放置的玫瑰花形。从欧几里德几何可知，可以相对容易地精确构建3重、4重、5重和6重的多边形图案，以及偶数倍的图案。有趣的是，1796年，少年卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)证明了也可以构建17重多边形。
Gauss-Wantzel (1837)定理对这些结果的推广断言，具有n条边的多边形可通过圆规和直尺来构造，当且仅当n是2的幂和不同的素数的乘积，其中指数k的费马数是Fk= 2^k 1，其中k = 2^n，n是整数。据推测，唯一的素数费马数是那些指数为0 <= n <= 4的数。近似的构造方法提供了一种获得大量多边形的方法，这种方法仅用圆规和直尺是不可能的[17]。neusis尺子由一把带标记的尺子和一个固定点组成，它的使用解决了几何上三等分角度的问题，并扩大了可以在孤立的装饰图案上设计和绘制的多边形的范围(neusis _ construction-Wikipedia)[18]。如今，借助计算机辅助设计(CAD)工具，可以构建任意n值的n边形。除了旋转对称之外，玫瑰花形还有许多反射。在所有情况下，玫瑰花结的对称性都可以用点二面体群Dn(或nmm例如D4或4mm)。
多边形的星星，一种常见的伊斯兰花环，出现在10世纪的科尔多瓦大清真寺和科尔多瓦哈里发国的后艺术中。清真寺的圆顶与环环相扣的肋骨形成一个八角星(图3)(点群：D8或8mm)。它也是11世纪Almoravid统治时期几何装饰的基本图形之一(图4(a))。六边形对称6mm的线性装饰(图4(b))和4mm或422(如果我们考虑交错)的线性装饰(图4(c))出现在同一时代。
图3 8-10世纪科尔多瓦八角星大清真寺[15]
图4·(a) Almoravid Qubba圆顶(11世纪)-马拉喀什;(b)卡拉乌因清真寺青铜葬礼门(十二世纪)-阿尔巴塔博物馆-非斯;(c)卡拉乌因清真寺的4mm或422(考虑到交错)Minbar(讲坛)一(10世纪)，阿尔巴塔博物馆-非斯
这种装饰形式在第二个千年的前半段分别在格拉纳达和非斯的纳斯里德和马里尼德时期达到顶峰。工匠们开始建造具有巨大对称性的彩色玫瑰花结。因此，在格拉纳达的阿尔罕布拉宫，我们发现了具有8、10、12、16和20重对称性的玫瑰花结，其中以8、12重玫瑰花结居多[19]。
与格拉纳达(1231-1492年)的Nasrids发展平行，摩洛哥的Marinid王朝(1269-1465年)在他们的新首都非斯发展了一项建筑活动，建造了Madrassas、caravanserai和其他仍然存在的建筑。Marinid建筑的特点在各个方面都可以与Alhambra相媲美。十四世纪安达卢西亚和摩洛哥纪念碑的装饰系统和材料是相同的。多色Zellijs的面板上有相同对称性的玫瑰花形图案(图5)，用石膏和灰泥雕刻的阿拉伯花纹是基于一系列相似的线条。然而，木雕结构在海生动物的建筑中更常见(图6) (1，2，16，20)。1492年格拉纳达沦陷后，非斯成为西班牙-摩尔艺术最活跃的焦点。这种艺术在马格里布，尤其是在摩洛哥继续发展，直到今天。
图5。(a)三个12重玫瑰花结---- Alhambra面板；(b)Madrassa Boulnania-菲斯。14世纪。
图6·Madrassa Boulnania -菲斯14世纪
3.摩洛哥纹饰中的有限图案
3.1. Marinid艺术的延续
在15世纪到19世纪之间，摩洛哥的几何艺术与早期的Marinid艺术相比没有发生任何戏剧性的变化。Saadian王朝(16世纪)的建筑是Marinid建筑的延续。然而，在装饰艺术中有两个显著的区别。在木头上雕刻的彩色图案的引入和在Zellijs上被称为“M’khabal Laakoul”的新图案的出现，意思是头脑的魅力(图7)。
图7 图案M 'Khabal Laakoul -萨迪亚古墓-马拉喀什- 16世纪。
只是在19世纪末，阿拉维王朝时期，摩洛哥工匠以自己的艺术遗产为傲，开始在几何艺术方面进行创新。他们在Zellijs上用雕刻和彩绘的木材以及凿刻的石膏建造了大型复杂的玫瑰花结(图8) (1，2，20)。
图8 (a) 64折玫瑰彩绘木质天花板；(b) 48折玫瑰花形粉刷石膏。我的伊德里斯陵墓-非斯建于1824年。1956年和2013年恢复。
3.2.有限图案的构造方法
称为“Hasba”(即测量)的方法在之前的论文[22]中有详细介绍。这是师傅以吝啬的方式传授给徒弟们的一种经验方法。师傅一直怕这个学生成为竞争对手，所以没有把所有的细节都教给他。只有有天赋的学徒能够通过观察师父的手势和解释他的话语，以实际的方式理解这个方法。这解释了为什么从来没有任何书面参考。每个学徒和未来的师傅都以自己的方式理解这个方法，并能清晰地表达出来。只有通过耐心的会议和与各种大师级工匠的交谈，在不同的材料上工作(石膏，zellijs，雕刻和彩绘木材)，才有可能理解这种方法，并根据工匠圈子中有效的规则准确地制定它，并以结构化的方式书写它。
Hasba方法允许在各种几何形状的表面上设计具有不同多边形形状的大玫瑰花形图案:正方形、矩形、五边形、六边形或八边形。对于更复杂的图案，中央玫瑰花结被卫星花结包围，卫星花结的对称性是中央玫瑰花结对称性的倍数，这些图案被称为星座(图9)。
Figure 9. Private resident一Marrakesh. End of nineteenth century.
图9 私人住宅一马拉喀什，19世纪末。
工匠们从描绘多边形框架开始，通常是正方形或长方形。在框架内，它们构建外围区域或包含星星玫瑰花结的巢(图10(a))，然后它们构建主玫瑰花结(图10(b))。玫瑰花结和巢之间的界面区域称为带，包含确保有限图案连续性的镶嵌(图10(c))。腰带和边缘的精确构造对图案的和谐和艺术价值至关重要。
图10构建有限图案的步骤
此外，由Hasba方法构建的设计由交错带构成，即使隐藏在图案中，交错带也是自然存在的；这是Hasba的主要特征。丝带只是通过延伸构成图案的不同形状的边缘而显露出来。事实上，通过标出隐藏的丝带，更多的艺术交错图案从初始图案中出现。丝带在框架内必须是连续的和环状的(图11(b))
图11 (a)边界带和(b)交错带
在构建摩洛哥几何图案时，必须遵守两个主要规则(图11(a)):
(1)图案总是由称为“Hssor”的边界带界定，该边界带包含穿过其中间的镜面。镜子确保在平面的两个方向上无限远地再现图案
(2)图案的角必须包含所罗门印章或玫瑰花结
Hasba方法可以扩展到构建无限和准周期模式[23，24]
3.3.玫瑰花结的对称群
据我们所知，在摩洛哥或其他地方，从来没有任何关于玫瑰花结对称性的广泛的目录或分类。然后，为了对现有的对称进行分类，我们在帝国城市进行了一次调查，并从属于不同时期的几个建筑(宫殿、宗教学校、清真寺、陵墓和私人住宅，例如马拉喀什)中收集了近千个有限图案。我们，还查阅了有关摩洛哥几何图案的参考书[1，2，20]。调查结果汇总在表1中。
表1 摩洛哥几何模式中Dn群的出现频率
表1总结了关于对称性的三个重要发现：
(1)表明摩洛哥几何模式中只存在一些二面体群Dn (6 < h < 96)。最常见的组别是D8、D12、D16、D24和D48。群体D6，D9，10，D32，D64和D96是罕见的。
(2)几乎所有现存的玫瑰花结都是均匀的；
(3)Dn(n > 96)群不存在于摩洛哥饰品中。
在没有书面参考资料的情况下，可以假设现有的玫瑰花结是由五边形、六边形和八边形恒星构成的。几个世纪以来发现的所有玫瑰花结都有5，6的多重对称性，乘法因子是2p (p是整数)。事实上，从五角星，我们获得10角，20角和40角的玫瑰花结。6x2^n获得了六重玫瑰花结系列，8x2^n获得了八重玫瑰花结系列(图12)。
图12 D6的例子
关于奇偶性，根据工艺大师的说法，获得奇数玫瑰花结的主要困难是找到一个几何框架，它可以包含这些玫瑰花结，同时遵守上述规则(第3.2节)；特别是关于图案边界的规则图13显示了12重玫瑰可以很容易地插入正方形和矩形框架中，同时遵守两个构造规则。
图13插入方形和矩形框架的12重玫瑰图案
为了获得包括奇数玫瑰的图案，大师级工匠将奇数玫瑰插入最初为偶数玫瑰构建的图案中。图14示出了9重花结插在最初为12重花结构造的框架中。
这一简要概述表明，工匠使用的简单工具(直尺和圆规)限制了获得更高对称性玫瑰花结的可能性计算机和新的仪器技术有助于克服这些困难。事实上，通过采用“Hasha(即测量)方法和新的CAD工具，我们能够使用属于D11、D100和D128群的玫瑰花结构建图案(图15)。
图14 12角和9角蔷薇花的组合
图15 D11，D100和 D128图案
3.4 含交错的玫瑰花结的对称群
伊斯兰工匠在装饰图案中加入了交织的图案，从而产生了西方艺术中无与伦比的装饰。在本节中，这个微妙的点应该被考虑，因为交错在伊斯兰图案的多样性和微妙性中扮演着非常重要的角色·对称的层组已经被Makovicky & FenollHach-Ali[25]和[26-29]在许多文章和书籍中详尽地处理过·感兴趣的读者可以参考Makovicky和他的同事的出版物，特别是他的最新著作(2016)。
出于艺术考虑，工匠们添加了无限相交的丝带。根据Hasba方法，任意色带与另一个色带的两个连续交点交替上下(图16)。这种新的交错图案可以被认为是2D或3D图案。如果将图案解释为2D，则上下条带位于同一平面上，镜像平面被移除。两条交错的缎带在镜面上不再对称。只有n重轴被保留，但由此产生的花结是循环群Cn。
图16 交错图案- 12,2或C12
相比之下，如果图案被视为两层，则镜像平面被转换成位于平面中的双对折轴，将图案的上层(可见)转换成在交叉处不可见的下层。玫瑰花结有一个折叠旋转轴加上n个双折叠垂直轴。得到的群是二面角n22(Hermann Mauguin符号)或Dn(Schoenflies符号)。
4 几个世纪以来摩尔人的晶体图案
在平面上只有17种可能的晶体群。这个证明首先由E·费多罗夫在1891年提出，然后由G·波利亚在1924年独立地推导出来[30]。自9世纪以来，平面晶体图案经常出现在摩尔人的装饰艺术和建筑中。我们在这里的目的不是列举目前存在的晶体群的数量，而是讨论从科尔多瓦哈里发时代至今安达卢西亚和摩洛哥不同材料和建筑上无限周期图案的演变。
4.1倭马亚时代(9世纪)
自9世纪以来，科尔多瓦的倭马亚大清真寺正面装饰着二维图案(图17)。装饰品由马蹄形拱门和红白砖组成，其中包含一些纳粹党所用的十字记号图案，可能是受被征服的西哥特人的启发。事实上，除了东方伊斯兰世界的影响和罗马帝国废墟中的许多纳粹党所用的十字记号的例子，西哥特人也更喜欢纳粹党所用的十字记号[29]。
图17倭马亚大清真寺一西班牙科尔多瓦，8-10世纪(Makovicky摄)。
在公元19世纪发现的另一个倭马亚时期遗址Madinat Al-Zahra的废墟中，在科尔多瓦哈里发帝国覆灭后被摧毁，似乎很少有装饰模型能抵抗它们的破坏。据我们所知，在西方文学和阿拉伯文学中，特别是与几何图案有关的图像非常罕见。然而，一些花板被从这些废墟中移走。这些图案代表了被称为“Tachjir”的花卉阿拉伯图案，其成分取决于分成对称排列的分支的中央树干。图18显示了装饰哈里发阿卜德·拉赫曼三世接待大厅的大理石板的例子[ 15]。
图18哈里发Abd al-Rahman三世-Madinat Al-Zahra接待大厅的墙板，936-1010(15)。
4.2. 阿蒙拉维德时代(11世纪)
马拉喀什Almoravid拱门讲堂仅存的建筑是与“Ali ibn Yusuf”大清真寺相连的Qubba(圆顶),是祈祷前净化自己的斋堂(图19)。在Qubba内部，两端有两个拱门，带有简单但非常优雅的雕刻灰泥拱门，两者都包含六个尖角星。它们被涂上了一种红色颜料，这种颜料可能来自原始的油漆残留物，但是我们没有历史参考来证明这一点。阿尔莫拉维德建筑风格受到科尔多瓦大清真寺的强烈影响。
图19所示 Almoravid Qubba - Marrakesh, 11世纪，p6mm对称群。
此外，还有一件这一时期遗留下来的家具。这是一个由阿蒙拉维德君主“阿里·伊本·优素福”为他的马拉喀什大清真寺委托建造的讲坛。刻在上面的铭文证明了minbar是在科尔多瓦制造的，它的建造开始于1137年(图20)。这个迷你酒吧有8级台阶，由垂直的墙壁支撑，末端是由坡道连接的横向拱廊。所用的材料和技术是不同的木材(雪松、洋槐、枣树)，涂上绿色的天然骨，镶上象牙。
图20 Almoravid清真寺的Minbar一马拉喀什，1137
内部和外部都有装饰。整个安达卢西亚装饰曲目一植物，花卉，几何和碑文一已被采用。外墙用p4mm的图案装饰，这个被称为“四锤”的单元直到今天在摩洛哥还被用作不同材料的装饰板。
4.3. 阿尔莫哈德时代(12世纪)
在阿尔莫哈德艺术中，一种严谨的风格见证了装饰的图解化和几何设计的持续使用。他们在塞维利亚建造的大清真寺和名为拉吉拉尔达的尖塔(1184)、马拉喀什的库图比亚尖塔(1147-58)和卡斯巴尖塔(1195)都是阿尔莫哈德风格的原型。
Kutubiyya和Qasba尖塔是用砂岩建造的这些立方体建筑顶上有一个灯笼形状的亭子，亭子上有一个圆顶，顶上有一根有三个金球的桅杆。
具有cm对称性的装饰性雕刻包围着Kutubiyya的拱形窗孔(图21)，并贴在Qasba尖塔的正面(图23(a))Kutubiyya亭子的边缘贴有p4mm纳粹党所用的十字记号图案(图21)。
图21 Kutubiyya宣礼塔——马拉喀什，1147-1158年，
图22三世纪volbilis的罗马4mm平面图案
Zellijs的概念隐约出现在Almohad艺术中，这是一种宽的陶瓷带，含有绿松石色的八角形瓷砖突出在墙上，以较小的装饰形式(图21和23(b))
Kutubiyya尖塔正面的瓷砖很可能是受摩洛哥梅克内斯市附近Volubilis考古发掘中发现的罗马动机的启发(图22)。
Qasba尖塔显示了另一种八角形图案的亭子(图23(b))。此外，一条带有更复杂的纳粹党所用十字记号图案的宽条带，具有p4对称群，装饰着立面的上部(图23(c))。如图23(d)所示，该图案是通过使用所罗门印章对平面进行初始密铺而获得的。在10世纪和13世纪之间，现有的晶体群是cm、cmm、p4、p4gm、p4mm和p6mm，p4mm是最常见的。
图23。马拉喀什卡斯巴清真寺，1195年；(b) cmm模式及其复制；(c) p4图形及其复制；(d)构建p4图案的步骤。
4.4. 马林尼德和纳斯里德时期
13世纪和14世纪，晶体学图案在格拉纳达的纳斯里德人和摩洛哥的马里尼德人统治时期达到顶峰。这一时期最著名的建筑成就是格拉纳达的阿尔罕布拉宫和摩洛哥帝国城市中的宗教学校，尤其是非斯的宗教学校Attarine和Boulnanya。这一时期建造了数量最多的晶体群。事实上，通过分析在阿尔罕布拉遇到的晶体模式，作者们对17个对称群的存在得出了不同的结论。有些作者声称有17组[31-33]；其他人认为只有11或13组[34-36]。即使在今天，关于阿尔罕布拉是否存在17个对称群的争议仍在继续[37，38]
当然，在此期间，图案变得更加复杂，使用了几乎所有可能的平面排列、交错和色彩调制(图24)。颜色和交错的引入在装饰图案中引入了额外的复杂和微妙的元素。图25显示，当我们考虑颜色时，p6mm图案变成了c2mm。
图24 (a)Madrassa bourltanya，非斯，14世纪-p2mm；(b)阿尔罕布拉宫-格拉纳达，14世纪- p3。
图25 19世纪非斯喷泉部分，(a) p6mm和(b) c2mm。
图26 (a) c222交错图案——阿尔罕布拉，14世纪(照片Makovicky)；(b)无隔行扫描的cmm模式(作者复制)。
为了精确地描述相互交织的模型，几位科学家从母平面群推导出80个群，称为层对称群以同样的方式，他们列出了大约100个二向色群[39]Makovicky在他最近的著作《通过大师的眼睛看对称性》[29]中用了三章来描述层对称群和有色群的细节。这些装饰和效果中的一些也可以用西方伊斯兰艺术的例子来说明。在图26中，如果我们不考虑交错，图案是c2mm，但是如果我们考虑交错并且图案是平面的，则图案变成c2。至于玫瑰花结组，如果图案被视为3D图案，则每个镜子被转换成双对折轴，并且结果组是c222。
镶嵌平面的传统从15世纪一直延续到现在。工匠们从几何形状或植物图案中获得灵感，试图在平面的周期性密铺中进行创新。尽管数量众多，但除了一些变化外，这些模式与前几个时代的模式相同。此外，在对称性方面没有显著进步(图27)。
图27(a)Moulay Idriss Zarhoune陵墓一梅克内斯，19世纪；(b) Mokri的房子一非斯，二十世纪初。
我们对摩洛哥图案的研究表明，仅存在11个晶体群[10]。缺失的群[是p2、pm、pg、p2gg、p3m1和p31m。最近，我们表明有可能获得6个缺失的群(图28)。这些群[是从由Hasba方法构建的n重玫瑰花结中产生的。
图28 摩洛哥图案中遗失的对称群
5 平面的准周期密铺
2011年，诺贝尔化学奖授予D.谢赫特曼，以表彰他在铝锰合金(Al Mn)中发现了具有二十面体有序相的准晶体。诺贝尔奖委员会[40]引用这一发现时写道:“在准晶体中，我们发现阿拉伯世界的迷人马赛克在原子水平上复制：规则的模式永远不会重复自己。”
图29显示，非斯的Attarine Madrassa的图案与Shechtman等人[41]观察到的准晶的衍射图案相似，都具有平移对称所不允许的10重对称图案。从那时起，一些作者根据几种可能的描述和构造方法分析了伊斯兰几何饰品中的准周期结构[3，5-8，27，42-45]。
最近，我们发现用Hasba方法建造的摩洛哥纪念碑上的一些图案是用准周期拼块来强调的。接着，我们举例说明了装饰几所Madrasas(学校)和陵墓的八角形、十角形和十二角形图案。Madrassas Attarine和Boulnania的模式被描述为彭罗斯瓷砖，以确认他们的准周期性。[24,46]
图29 (a)准晶AIMn的衍射图样(R. Portier);(b) (a)所示的衍射的中心子午线，(c) Madrasa Attarine (非斯)的准周期Zellijs图案，(d) (c)所示的准周期密铺的中心子午线截面。相对于中心的对称元素l2/l1 = l3/l2 = 1.667(黄金比例的近似值r = 1.618033 .....)。
彭罗斯[47]发明了由一组非周期的原瓷砖生成的非周期瓷砖。这种密铺的特征在于以下属性:
它缺乏任何平移对称性。
它是自相似的，因此相同的模式出现在越来越大的尺度上。
它是准周期性的:密铺产生布拉格衍射(3个峰)图案，其衍射图案揭示了五重对称性和潜在的长程有序。
有三种类型的彭罗斯瓷砖，P1，P2和P3，它们具有共同的特征:在每种情况下，瓷砖都是由与五边形(因此与黄金比例)相关的形状构成的，但是基本的瓷砖形状需要通过匹配规则来补充，以便构成非周期瓷砖。
最初的五边形彭罗斯瓷砖(P1)使用五边形和其他三种形状:一个五角星，一个船(一颗星的3/5)和一个钻石(一个薄菱形)。彭罗斯第二瓷砖(P2)使用四边形瓷砖称为“风筝”和“飞镖”。第三块瓷砖(P3)使用了一对边相等但角度不同的菱形(“胖的”和“瘦的”)。最后一种镶嵌(P3)，也已经由De Bruijn [48]开发的多重网格法解释过，并由Gratias [49]重新表述，以便于计算镶嵌。
MA的Zellijs面板具有5重和10重对称性。类似于P3·彭罗斯瓷砖(图30(a))，我们考虑顶角为36°和72°的两块菱形瓷砖，由Hasba方法构造的两个动机装饰，如图30(b)所示。如果我们按照一个被认为是骨架的彭罗斯P3瓷砖来排列这些装饰瓷砖，我们得到一个无限的准周期图案图30(c)。MA面板是这种准周期图案的有限部分(图30(d))。采用同样的方法，我们提出并设计了摩洛哥几何艺术中尚未遇到的新的准周期图案，如七边形、九边形、十四边形和十八边形(图31)。
图30 从彭罗斯镶嵌构造Attarine图案。
图31新的准周期图形。
6结论
复杂的几何装饰是摩尔艺术的特征之一。建筑结构和装饰的独创性产生了一种经过几个世纪演变的特殊艺术，在马格里布和安达卢西亚成功的朝代有:倭马亚王朝、泰法国王、阿尔莫拉维德、阿尔莫哈德斯、纳斯里德(格拉纳达)、马林尼德、萨阿德人和阿拉维派(摩洛哥)。错综复杂的伊斯兰装饰图案清楚地展示了工匠及其君主和统治者对图案重复、不断生成和扩展的视觉原则的迷恋。
从19世纪发展到今天，具有n = 48、64和96以及更大的环状玫瑰花形的装饰板包含表现出越来越复杂的对称性的玫瑰花形成分。这种被称为星座的星形多边形的叠加，给人一种膨胀的感觉，就像在天文学中一样。
重复平移模式的无限延伸的感觉是我们在晶体学中发现的一个概念，其中晶体在三维中具有平移对称性，并被假设为无限。自9世纪以来，该平面的晶体群的数量和复杂性已经发生了变化。然而，摩洛哥工匠无法建造费多罗夫的17个群。缺少对称群的原因可以解释为，工匠们已经达到了设计其他对称群的能力极限(他们没有对称群的知识，或者他们没有复杂的工具)，或者是因为他们偏爱某些对称而忽略了其他对称。然而，最近已经通过使用CAD工具和Hasba方法建立了丢失的群。
准周期图案的存在和它们在14世纪由工匠建造的过程提出了几个问题：为什么这些几何图形自14世纪以来就存在于伊斯兰镶嵌画中？工匠们知道准周期性吗？工匠们用什么方法来建造这种结构？几何艺术史的进一步学术研究试图回答这些问题。
直到20世纪末，这种古老的技艺依然生机勃勃，蓬勃发展，但却没有出现真正的重大创新。20世纪80年代末，摩洛哥国王哈桑二世在卡萨布兰卡建造了大清真寺，为这种古老的艺术注入了新的活力。这为工匠们提供了一个机会，让他们能够创造出超越牢牢扎根于手工艺世界的古老规则的其他图案。学术界也有一种意识，希望发展艺术史的研究，并利用对称和潮流的概念，即现代技术，即计算机辅助设计，为新的几何图案的概念做出贡献。
工匠和研究人员之间的现代对话，与现代科学技术相结合，使得摩洛哥图案的构建方法正式化，发现了新的图案和摩洛哥图案中缺失的对称群。此外，合作有利于新的非常规周期以及准周期模式的概念(图32)。这种方法将为沉浸在现代科学技术中的下一代工匠打开新的视野。
图32 (a)新的周期性模式p6一哈桑二世清真寺一卡萨布兰卡，20世纪；(b)新的准周期模式18重对称。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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