1.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X可能取得不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.
E(X)=x1p1 x2p2 … xipi … xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
称D(X)=[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.
注意：随机变量的均值，方差实常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化.
2.均值与方差的性质
若Y=aX b,其中a,b是常数,X是随机变量,则均值的性质:(1)E(k)=k(k为常数);(2)E(aX b)=aE(X) b;(3)E(X1 X2)=E(X1) E(X2);(4)若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
3.期望与方差的一般计算步骤
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取得值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
4.利用期望与方差进行决策
利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策,其中随机变量ξ的期望的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1、ξ2的期望,当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好.
(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时,一般先计算期望,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近,且期望较大者的方差较小,显然该变量更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.
经典例题：[2018浙江卷]
设0〈p〈1，则随机变量ξ的分布列如下表，则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A. D(ξ)减小
B. D(ξ)增大
C. D(ξ)先减小后增大
D. D(ξ)先增大后减小
解题思路：用离散型随机变量期望公式与方差公式解题。
解析：由题意得
∴D(ξ)在（0，1/2）上递增，在（1/2，1）上递减，即当p在（0，1）内增大时，D(ξ)先增大后减小，故选D。
答案：D
