在前文中我们谈到用高斯消元法解决线性系统问题，也谈到线性组合，参见齐次方程组和线性组合。
本文谈论齐次方程组的基解。先做一个高斯化简：用系数矩阵求解齐次方程组，
解：用高斯消元法，化简后得：
所以通过高斯消去得出的解是:
= 2s t
= s
= t
=t
因此我们能把通解x写成矩阵形式:
这里的：
是通过高斯消元得到的特殊解。
定义：高斯算法产生任何齐次线性方程的参数解，每个参数都有一个特解叫做基解。
上面的例子的解可以写成：
因此，通过引入一个新的参数r = t/5，我们可以将原来的基本解x2乘以5
消除分数。因为:任何非零的标量乘以一个基本解仍然被称为一个基本解。
定理：设A是一个m×n矩阵，秩为r，考虑n个变量的齐次系统，其中A为
系数矩阵。那么:
1. 系统有n - r个基本解，每个参数有一个。
2. 每个解都是这些基本解的线性组合。
例题：
求系数矩阵为A的齐次方程组的基本解，并表示每一个解为基本解的线性组合，其中：
解：将增广矩阵用高斯法化简为行简化阶梯形
通解是x1 = 3r−2s−2t, x2 = r, x3 =−6s t, x4 = s, x5 = t其中r， s和t参数。在矩阵形式中，这是
因此基解是：
