五种方法证明正方形内线段的倍长关系

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(1)

在初中几何证明题教学过程中,一题多解非常有利于锻炼学生的解题思维,也帮助学生从不同角度去解析题目中的条件,从而对题目理解更深刻,而这些方法之间,有共通之处,也有差异之处,一道题两种解法其实胜过用两道题,因此多解的题也十分难得,命题时留下多条通道,更是充分体现了命题人的智慧与宽容。

题目

如图,点O为正方形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAC交BC于E,交OB于F.求证CE=2OF

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(2)

思路一

通常情况下,八年级阶段证明线段的倍长关系,首先想到的定理是中位线定理,在这个定理的描述中,直接提到了线段之间的倍长关系,所以思路一从联想到中位线开始也符合学生学习的认知过程。

由于中位线定理需要两个中点的条件,那么题目中有没有出现中点条件呢?

不难发现,正方形ABCD的对角线交点O,就是AC中点,而结论中的CE,恰好和AC构成一个三角形△ACE,于是便可在这个三角形中来构造中位线。

△ACE有三条边依次是AC、CE和AE,其中AC边上已经存在中点O,CE是它的第三边,于是需要在AE上取中点G,然后连接OG,如下图:

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(3)

从图中可以看出CE=2OG,于是剩下的问题就是证明OF=OG了,通过正方形的性质我们可以计算出∠CAB=45°,AE是它的角平分线,从而得到∠CAE=22.5°,正方形对角线互相垂直且平分一组对角,得到∠AOF=90°,∠ACB=45°,所以∠AFO=67.5°,∠AEC=22.5° 45°=67.5°,至此我们得到了等腰△OFG,即OG=OF,所以证明了CE=2OF;

思路二

紧接上面的思路,既然我们选定了△ACE来构造中位线,一定要在AE上取中点吗?CE上行不行?

当然可以,在CE上取中点,相当于将CE分成两半,也有利于证明结论,于是取CE中点H,如下图:

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(4)

许多在上一个思路中已经得到的结论,不再重复,此时CE=2EH,那么我们的目标便只剩下证明EH=OF了,同样计算出∠BEF=67.5°,∠BFE=22.5° 45°=67.5°,即等腰△BEF,同样还有一个等腰△BHO,所以两腰分别相减,得到EH=OF,所以证明了CE=2OF;

思路三

前两个思路当中,我们都利用了点O为AC中点,从而构造出了以AC为一条边的三角形中位线,这个三角形除了是△ACE之外,还能是其它三角形吗?

不妨加倍延长AF,使FM=AF,如下图:

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(5)

现在在△ACM中,OF是中位线了,于是CM=2OF,那么我们只需要再证明CM=CE即可。

再次计算∠CEM=∠BEF=67.5°,由于OF∥CM,因此∠M=∠AFO=67.5°,所以∠CEM=∠M,得到等腰△CEM,即CM=CE,所以证明了结论CE=2OF;

思路四

除了使用中位线定理,全等三角形也可用于证明线段的倍长关系,通常情况下称之为截长补短,所以过点C作CN∥AE,达到这个目的,如下图:

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(6)

△AOF≌△CON,这非常容易找到全等的三个条件,用AAS或ASA均可,我们成功地将OF“加倍”了,因此剩下的任务就是证明FN=CE,再次利用计算出的角度关系,∠BCN=∠BEF=67.5°,∠BNC=∠BFE=67.5°,得到两个等腰△BEF和等腰△BCN,两腰相减得到CE=FN,所以证明了结论CE=2OF;

思路五

除了利用全等三角形进行等量转换,中位线长证明倍长关系之外,还有一类定理描述了边长之间的关系,只不过是特殊三角形即直角三角形,那就是勾股定理。

在正方形中,最容易找到的直角三角形是等腰直角三角形,非常得多,利用好它们,可以让证明更“数字化”。

从哪入手呢?

AE是∠CAB的角平分线,这立马让人想起“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”,点F和点E都在这条线上,不妨选择其中一个点,将它到两边的距离补充完整,例如过点E作EP⊥AC,如下图:

20道线段的运算题及答案(一题多解教学实例)(7)

结合前面已经有的结论,我们设BE=x,则EP=x,BF=x,图中出现的等腰Rt△有△PCE、△AOB,我们就利用这两个足够了,根据等腰直角三角形斜边是直角边长的√2倍,可表示出CE=√2x,于是BC=(√2 1)x,所以在△AOB中AB=(√2 1)x,可表示出OB=(1 √2/2)x,所以OF=OB-BF=√2/2x,咦!发现它正好是CE的一半,所以证明了CE=2OF.

解题反思

不同的解法其实是源自于不同的出发点,即在读题时先想到哪个定理,就决定了走上哪条道,本题较为简单,条条大道通罗马,涉及到的知识包括中位线、全等三角形、正方形的性质、勾股定理、特殊直角三角形三边关系等。

在平时的教学过程中,有意识地引导学生从不同角度思考问题,非常有必要,因为学生学习的侧重不同,有些学生喜欢用全等,有的学生执着于中位线,还有学生爱用勾股定理,这都可以,反倒是全班一个思路走到黑,不太合适。

课堂上每当讲完一种解法后,一定要关注学生的听讲状态,避免出现“反正我会了,不用听了”这种心态,培养求知欲。

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