五种方法证明正方形内线段的倍长关系
在初中几何证明题教学过程中，一题多解非常有利于锻炼学生的解题思维，也帮助学生从不同角度去解析题目中的条件，从而对题目理解更深刻，而这些方法之间，有共通之处，也有差异之处，一道题两种解法其实胜过用两道题，因此多解的题也十分难得，命题时留下多条通道，更是充分体现了命题人的智慧与宽容。
题目
如图，点O为正方形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F.求证CE=2OF
通常情况下，八年级阶段证明线段的倍长关系，首先想到的定理是中位线定理，在这个定理的描述中，直接提到了线段之间的倍长关系，所以思路一从联想到中位线开始也符合学生学习的认知过程。
由于中位线定理需要两个中点的条件，那么题目中有没有出现中点条件呢？
不难发现，正方形ABCD的对角线交点O，就是AC中点，而结论中的CE，恰好和AC构成一个三角形△ACE，于是便可在这个三角形中来构造中位线。
△ACE有三条边依次是AC、CE和AE，其中AC边上已经存在中点O，CE是它的第三边，于是需要在AE上取中点G，然后连接OG，如下图：
从图中可以看出CE=2OG，于是剩下的问题就是证明OF=OG了，通过正方形的性质我们可以计算出∠CAB=45°，AE是它的角平分线，从而得到∠CAE=22.5°，正方形对角线互相垂直且平分一组对角，得到∠AOF=90°，∠ACB=45°，所以∠AFO=67.5°，∠AEC=22.5° 45°=67.5°，至此我们得到了等腰△OFG，即OG=OF，所以证明了CE=2OF；
思路二紧接上面的思路，既然我们选定了△ACE来构造中位线，一定要在AE上取中点吗？CE上行不行？
当然可以，在CE上取中点，相当于将CE分成两半，也有利于证明结论，于是取CE中点H，如下图：
许多在上一个思路中已经得到的结论，不再重复，此时CE=2EH，那么我们的目标便只剩下证明EH=OF了，同样计算出∠BEF=67.5°，∠BFE=22.5° 45°=67.5°，即等腰△BEF，同样还有一个等腰△BHO，所以两腰分别相减，得到EH=OF，所以证明了CE=2OF；
思路三前两个思路当中，我们都利用了点O为AC中点，从而构造出了以AC为一条边的三角形中位线，这个三角形除了是△ACE之外，还能是其它三角形吗？
不妨加倍延长AF，使FM=AF，如下图：
现在在△ACM中，OF是中位线了，于是CM=2OF，那么我们只需要再证明CM=CE即可。
再次计算∠CEM=∠BEF=67.5°，由于OF∥CM，因此∠M=∠AFO=67.5°，所以∠CEM=∠M，得到等腰△CEM，即CM=CE，所以证明了结论CE=2OF；
思路四除了使用中位线定理，全等三角形也可用于证明线段的倍长关系，通常情况下称之为截长补短，所以过点C作CN∥AE，达到这个目的，如下图：
△AOF≌△CON，这非常容易找到全等的三个条件，用AAS或ASA均可，我们成功地将OF“加倍”了，因此剩下的任务就是证明FN=CE，再次利用计算出的角度关系，∠BCN=∠BEF=67.5°，∠BNC=∠BFE=67.5°，得到两个等腰△BEF和等腰△BCN，两腰相减得到CE=FN，所以证明了结论CE=2OF；
思路五除了利用全等三角形进行等量转换，中位线长证明倍长关系之外，还有一类定理描述了边长之间的关系，只不过是特殊三角形即直角三角形，那就是勾股定理。
在正方形中，最容易找到的直角三角形是等腰直角三角形，非常得多，利用好它们，可以让证明更“数字化”。
从哪入手呢？
AE是∠CAB的角平分线，这立马让人想起“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，点F和点E都在这条线上，不妨选择其中一个点，将它到两边的距离补充完整，例如过点E作EP⊥AC，如下图：
结合前面已经有的结论，我们设BE=x，则EP=x，BF=x，图中出现的等腰Rt△有△PCE、△AOB，我们就利用这两个足够了，根据等腰直角三角形斜边是直角边长的√2倍，可表示出CE=√2x，于是BC=(√2 1)x，所以在△AOB中AB=(√2 1)x，可表示出OB=(1 √2/2)x，所以OF=OB-BF=√2/2x，咦！发现它正好是CE的一半，所以证明了CE=2OF.
解题反思不同的解法其实是源自于不同的出发点，即在读题时先想到哪个定理，就决定了走上哪条道，本题较为简单，条条大道通罗马，涉及到的知识包括中位线、全等三角形、正方形的性质、勾股定理、特殊直角三角形三边关系等。
在平时的教学过程中，有意识地引导学生从不同角度思考问题，非常有必要，因为学生学习的侧重不同，有些学生喜欢用全等，有的学生执着于中位线，还有学生爱用勾股定理，这都可以，反倒是全班一个思路走到黑，不太合适。
课堂上每当讲完一种解法后，一定要关注学生的听讲状态，避免出现“反正我会了，不用听了”这种心态，培养求知欲。
雪浪纸
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