很多时候一门学科的兴起和衰落都有着特定的历史背景，其实很少有一些始终如一很火爆的领域出现，数学领域也是这样子。但是有一个数学科目却是几千年来从未冷却下去，这门学科贯穿着整个数学的发展史，这就是数论。
数论里永恒的话题----素数
说到数论，也就是研究一个整数的性质。哪一类整数最让人着迷呢，当然是素数了。奇怪的是迄今为止，人们对于素数的应用却是很少很少，但是这丝毫没有打消人们想要研究的念头。也许对于数学没有目的的研究才是真正应该做学问的态度吧。
高斯大神
几乎所有的数学家多多少少都研究过素数，从遥远的欧几里得，阿基米德，再到中世纪的斐波那契，然后再到文艺复兴时代的数学大师们。当然，高斯这位大神也对素数极度痴迷，从他十几岁开始就研究，并且得出了重大的成果。
然而，素数这个问题却不是你研究时间长，研究人员多，就一定可以出成绩的，这个跟现在的科研有着显著不同。数学的发展史就是一部气势磅礴的素数研究史，但是深究下去，你更加会发现，很多素数的简单到孩童都理解的问题都一直没有突破。比如，是否存在无穷多组间隔为2的素数对，任意一个大偶数都是两个素数的和。。。
高斯在1792年研究过一个关于素数的重大问题。
一个自然数N以内的素数到底有多少个？
这是一个相对来说弱化了的问题，比起那些一个劲就要找到素数公式的方向显然要柔和得多，正是因为这个问题不是那么强劲，所以这个问题的研究才有可能得到了充分的成果。
纳皮尔与对数表
1792年，高斯多少岁了？仅仅15岁，他的数学天赋已经开始有了恐怖的发挥了。少年时期的高斯有一本对数书，也就是纳皮尔编的那套对数表。然而这部内容相当枯燥的工具书最后几页藏着一个彩蛋，这是一张素数表，大概就是依次把某个范围内的所有素数都罗列在上面，方便人们进行素数方面的研究。高斯对着素数有着超乎常人的痴迷，他在这个素数表的基础上，统计了一些规律。分别计算了某个范围内，素数的个数是多少。
100亿以内素数个数统计
事实上，我很怀疑这张表是后人杜撰出来的，这里最大的一个范围已经到了100亿了，在18世纪末的人类应该很难能获得100亿内的全部素数吧。不过即使这张表是后人造出来的，也不妨碍高斯的伟大成就。
N是某个具体的自然数，π(N)是实际上小于等于N的全部素数个数，右边是“相邻素数间隔的平均值”。这里，我们要注意最右边的这一列数值的意义所在，所谓相邻素数间隔的平均值，实际上也就是平均要数过多少个自然数才会遇到一个素数。换句话说，在1000以内，素数占到了1/6，在100亿内，素数大约占到1/22。这个通过统计得到的规律非常重要，高斯对于素数个数的猜测都是来自于这一列数据。
Li(x)与真实π(x)的差距
这里的N从上到下是10倍的速率增长，而相邻素数间隔的平均值却没有以指数增长，甚至还基本上稳定在某个数值附近。实际上，这个也符合我们对于素数分布的直观感受。我们早就知道素数是无限多的，随着数值的增大，素数之间的距离会越来越大，分布也就会越来越稀疏。但是我们却没有想到，其实素数占到全体自然数的概率是有一个基本稳定的值的。
分析上面的最后一列数据，相邻两行的数值上大概相差2.3。想想看，假如我们把N作为自变量，后面的那个间隔的平均值L作为未知量，组成一个函数。那么这个函数会满足一个性质，N增加10倍，L始终增加2.3，什么函数才会满足这样的要求呢？其实，这个函数就是对数函数，正是高斯那本对数书的正文部分，好好冥冥之中纳皮尔这位对数大师在引领着小高斯走向正确的轨道上来。
到这里，高斯猜测任意取一个自然数的概率应该是1/logN,这里高斯并没有指定log取的底是多少，并不一定就取10为底。高斯列出那个表里自变量N是以10倍递增，仅仅是因为这样做统计比较方便，事实上，高斯如果不嫌麻烦用7倍增速，3倍增速同样可以得出类似的结论。高斯只是猜测这两个关系之间应该是对数函数的关系。
既然猜测到了素数的概率公式，我们不妨再前进一步，任意N以内的素数的个数是多少呢？
假如高斯同志真的不嫌麻烦，甚至拥有无穷的计算力，他不再让N以10倍递增，而是让N一个一个加上去，然后再统计出对应其他两列数据。那么，假如任意N以内的素数个数都要满足上面的猜测公式的话，于是就可以得到任意N内的素数个数的一个估计公式：
高斯推测的素数个数公式
上面式子其实是一个定积分的定义展开式，为了简化表示，我们也写成一个积分：
素数个数估计函数积分形式
于是高斯最终提出的素数定理表达起来就是：
素数定理
这个式子深刻地表示出了素数在全体自然数域内的分布情况。1798年，数学家勒让德把这里的log的底取为e。
这个只是理论上的推测，实际情况呢？我们用一张表格来呈现。
素数估计函数Li(x)的相对误差
我们可以非常清晰地发现随着N的增大，估计函数Li(N)与真实计数函数π(N)的相对误差越来越小，最终应该就会是等价的了吧。
勒让德
同以往高斯遇神杀神的研究不同，高斯素数定理的提出是根据基本的统计再反推得到的，高斯本人没有从理论上证明这个定理的正确性。这个成果也仿佛不太符合高斯大神的风格，事实上，这个定理（其实更应该说是猜想）在19世纪基本上都没有什么大的证明进展。直到他的学生黎曼那篇惊世骇俗的论文出现之后，人们在不断钻研黎曼假设的过程中意外地证明了这个重大的问题。
黎曼大神
1896年法国数学家哈达玛)和比利时数学家普森先后独立证明了黎曼猜想中的所有非平凡零点都位于x=0到1之间的带状区域内，并且不包括边界。这个结论相对于真正的黎曼猜想而言其实不值一提，他们的方法用到了复分析的理论，尤其是黎曼ζ函数。他们用到的数学方法极其高深，以至于，当时的数学大师哈代直觉性地认为，要想证明素数定理，必须要用到复分析这些高深理论，以此来彰显这个定理崇高的地位。然而在1949年，却有人打破了哈代这个直觉预言，其实这么高深的理论也是存在初等证明的。年仅31岁的塞尔伯格和埃尔德什给出一个初等证明，他们的证明过程里没有用到ζ函数，甚至连微积分的知识都没用到，仅仅用到极限，e,log的一些简单性质。
史上最多产的数学家 保罗埃尔德什
这个过程里，我们也看到，很多看起来高不可攀的问题，也许真的就存在一个初等的证明方法，不过方法虽然初等，但是用这个方法怎么达到最后的结果，其实难度甚至比用高超的数学工具还要大！
我们始终难以想象15岁的高斯仅仅通过一本陈年的对数工具书和附件里的素数表，就足以推理出一个困扰百年的重大猜想。其实这一点很幸运，素数的表达公式基本上是毫无规律的，可喜的是素数的分布却是有十分明显的规律的。比起这份幸运来，高斯惊人的洞察力更加令人震撼。
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