第1课时
教学内容
教科书P61例5,完成教科书P63~64“练习十一”中第3、4、6、7题。
教学目标
1.能正确判断情境中的两种量是否成正比例关系，并能用正比例的意义解决实际问题。
2.在经历问题解决的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的思维能力。
3.学会从不同的角度思考问题，沟通“算术法”与“比例方法”的联系和区别，发展探究解决问题策略的能力。
教学重点
掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。
教学难点
利用正比例关系列出含有未知数的等式。
教学准备
课件。
教学过程
一、复习正比例的意义，激活经验
1.复习成正比例的量。
师：谁能说一说生活中有哪些成正比例关系的量？
【学情预设】预设1：速度一定，路程与时间成正比例关系。
预设2：单价一定，总价与数量成正比例关系。
预设3：工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系。
……
师：判断两种相关联的量是不是成正比例关系的关键是什么？
【学情预设】两种相关联的量的比值一定，这两种量就成正比例关系。
【设计意图】通过描述生活中常见的成正比例关系的量，唤起学生对旧知识的回忆，巩固判断两个量成正比例关系的关键要素，同时为新知的学习作准备。
2.揭示课题。
师：生活中成正比例的量有很多，今天这节课我们来学习用正比例知识解决生活中的实际问题。［板书课题：用比例解决问题（1）］二、提出问题，探索用正比例知识解决问题
1.阅读与理解。
课件出示教科书P61例5。
师：通过上图，你知道了什么？要解决什么问题？
【学情预设】张大妈家上个月用了8t水，水费是28元；李奶奶家用了10t水。要求李奶奶家上个月的水费是多少钱。
师：你能解决这个问题吗？试一试。
学生独立思考，完成解答。
2.分析与解答。
(1)教师收集学生用算术法解决问题的方法进行汇报交流。
【学情预设】预设1：先算出每吨水的价钱，再算10t水的总价。
28÷8×10
=3.5×10
=35(元)
预设2：先求出用水量的倍数关系，再求总价。
10÷8×28
=1.25×28
=35(元)
【教学提示】
在解决实际问题的过程中，大胆放手让学生自主探索。使学生经历“阅读与理解——分析与解答——回顾与反思”的过程，指导学生学会用正比例解决问题的方法，积累解决问题的经验。
【设计意图】让学生独立思考，并利用已有的知识解决问题，激活学生已有的解决问题的经验，为用比例解决问题作准备。
(2)探讨用正比例解决问题的方法思路。
教师板书展示学生用正比例知识解决问题的方法。
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
师：刚才我还发现有的同学列出比例来解决这个问题，你知道他是怎么想的吗？如果有疑问，可以向这位同学提问。
【学情预设】指导学生在交流互动中明确：在这道题中，因为水的单价一定，所以水费和用水的质量成正比例，也就是两家的水费和用水的质量的比值是相等的。
师：根据大家的分析，我们知道了这道题中的水费和用水的质量成正比例关系，你能再完整地说一说是怎样判断的吗？（出示课件）
【学情预设】学生完整表达：题目中相关联的两种量是水费和用水的质量，水的单价一定，水费和用水的质量成正比例关系，用关系式表示是=水的单价。(板书：=水的单价)
(3)尝试列出其他比例解决问题。
师：你还能列出其他的比例解决这个问题吗？
【学情预设】学生可能呈现以下解法：
【教学提示】
让学生互动交流，弄清用比例解决问题的思路，学会倾听，并理解用正比例解决问题的关键是根据题目中的情境列出数量关系，找到“不变量”。
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
教师指导学生说出列比例的思路，例如用水的质量比等于水费的比，要强调比例中对应数量之间的对应关系。
3.回顾与反思。
师：你认为李奶奶用了10t水的水费为35元钱,这个答案符合实际吗？你是怎么检验的？
（1）学生小组讨论，汇报结果。
【学情预设】将答案代入到比例式中进行检验。
(2)沟通“算术法”与“比例法”的联系。（出示课件）
师：比较“算术法”与“比例法”，你有什么发现？
【学情预设】学生可能会说，算术法先算的是水的单价，再求10t水的总价，而比例法也是根据水的单价不变来列出比例的。
师小结：两种方法在计算求解时殊途同归，但算术法必须求出那个不变的量的具体值，而比例法只需要根据数量关系表示出这个不变量即可，思维过程更具有广泛性、一般性。
(3)变式练习，巩固用比例解决问题。(出示课件)
【教学提示】
引导学生通过两种方法的比较，突出比例法解题的特点和优势，培养学生根据实际需求优化解题方法的意识。
师：请你用比例的方法试着解决这个问题。
学生独立完成后交流，指名学生板演。
解：设王大爷家上个月用了xt水。
指导学生明确：虽然未知量变了，但题中水费和用水的质量的正比例关系没变。如果学生列出其他的比例，只要比例中对应数量之间的对应关系是正确的都要予以肯定。
(4)归纳用正比例解决问题的一般方法。
师：你能总结一下，用正比例解决问题的步骤是什么吗？
师生一起交流后总结：
① 根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例关系。
②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。
③解比例。
④检验并写出答语。
【设计意图】通过找相关联的量、列比例解答并检验等过程，给学生自主分析问题和解答问题的空间，让学生在理解正比例意义的基础上列出比例,之后再引导学生检验反思,沟通“算术法”与“比例法”的联系，引导学生多角度去思考问题，寻求解决问题的不同策略。总结归纳用正比例解决问题的步骤，初步积累解决此类问题的经验。
三、实际应用，提高能力
1.完成教科书P63“练习十一”第3、4题。
学生独立完成后，在小组内交流再汇报。
【学情预设】在汇报时，要求学生说出题目中哪两种量成正比例关系，并列出关系式，再根据关系式列出比例解答。第3题中，可以列出比例，小兰的身高∶小兰的影长=树高∶树的影长或小兰的影长∶小兰的身高=树的影长∶树高。第4题可以由“运行时间∶运行周数”的比值不变列出相应比例。
2.完成教科书P64“练习十一”第6、7题。
师：你能解决这两个问题吗？赶紧动手试一试吧！
学生独立完成后，集体交流订正。
【学情预设】这两道题都是用正比例知识解决问题，根据“路程∶时间=速度”列出比例解答。学生可能出现数量不对应的情况，教师可以提示学生在解决问题之前用列表法将信息进行整理，这样可以避免列比例出错。第6题的方法比较灵活，展示交流时注意不同的思路:可以计算出行1600km所用的时间，与6小时进行比较；也可以计算6小时可行的距离，与1600km进行比较。
师：如果把第7题的问题改为“按照这样的速度，行完全程还需多少小时？”，你会用比例解答吗？
【学情预设】引导学生根据“路程∶时间=速度”的关系来列出比例，只是求行完全程还需多少小时，对应的路程不再是90km，而是(90-30)km。如果学生说出先求按照这样的速度，行完全程需要多少小时，然后再减去已经行驶的2小时，这种方法也是可以的。
【设计意图】通过用正比例解决问题，使学生熟悉解决这一类问题的步骤与方法。知道找到题目中的不变量，确定哪两种量成正比例关系，再根据正比例关系列比例解答。
四、课堂小结
师：回顾今天的学习过程，你们有什么收获呢？
板书设计
【教学提示】
用列表法整理信息时，要注意信息的对应。
教学反思
在教学中，我们经常发现学生并不喜欢用比例解决问题，究其原因：其一，学生觉得书写麻烦;其二，确定正反比例关系存在困难。在教学中怎么避免学生把比例当作“麻烦比例”？我们可以沟通算术方法与用比例解决问题的方法之间的联系，开放解决问题的思路，使学生把已有经验和新方法有效对接，在辨析交流中让学生对多种策略逐步理解和内化。还要注意以正比例解决问题为主要着力点，让学生经历解决问题的过程，使学生在解决问题的基础上进行方法的提炼和总结，体会此类问题解决的关键和策略，提高解决问题的能力。
第2课时
教学内容
教科书P62例6,完成教科书P64“练习十一”中第5、8、9、12题。
教学目标
1.能正确判断情境中的两种量是否成反比例关系，并能用反比例的意义解决实际问题。
2.在用比例解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略的多样化，培养和发展学生的发散性思维。
3.进一步理解反比例的意义，知道列成乘积一定的等式，也是运用反比例方法解题的一种表现方式。
教学重点
掌握用反比例的意义解答基本问题的方法与步骤。
教学难点
利用反比例关系列出含有未知数的等式。
教学准备
课件。
教学过程
一、复习反比例的意义，激活经验
1.复习成反比例的量。（课件出示习题）
【学情预设】预设1：速度一定，路程与时间成正比例关系。
预设2：路程一定，速度和时间成反比例关系。
预设3：总价一定，买水果的数量和单价成反比例关系。
预设4：运货的总量一定，汽车的载质量和运的次数成反比例关系。
师：判断两种相关联的量成反比例关系的关键是什么？
【学情预设】两种相关联的量的乘积一定，这两种量就成反比例关系。
【设计意图】通过判断各题中的两种量成什么比例关系的练习，唤起学生对旧知识的回忆，巩固判断两种量成反比例关系的关键要素，同时为新知的学习作准备。
2.揭示课题。
师：上节课我们学习了用正比例的知识解决问题，今天这节课我们来学习用反比例知识解决生活中的实际问题。［板书课题：用比例解决问题（2）］
二、提出问题，探索用反比例知识解决问题
1.阅读与理解。
课件出示教科书P62例6。
师：从题目中你知道了哪些数学信息？
【学情预设】预设1：知道了原来平均每天照明用电100千瓦时，改用节能灯以后，现在平均每天只用电25千瓦时。要解决的问题是：原来5天的用电量现在可以用多少天。
预设2：我用表格来整理信息，更加一目了然。
师：大家用自己的方式整理了信息，现在你能解决这个问题吗？试一试。
学生独立思考，完成解答。
2.分析与解答。
【教学提示】
引导学生经历解决问题的完整过程。指导学生进一步掌握如何梳理条件，如何分析条件与问题的联系，如何确定两种量及两种量的关系。
(1)教师收集学生用算术法解决问题的方法进行汇报交流。
【学情预设】预设1：先求出总用电量，再求现在的用电天数。
100×5÷25
=500÷25
=20(天)
预设2：先求出每天用电量的倍数关系，再求现在的用电天数。
100÷25×5
=4×5
=20(天)
【设计意图】让学生利用已有的知识解决问题，激活学生已有的解决问题的经验，结合第一种方法提问：这种方法是抓住什么量不变？引导学生说出总用电量不变，为研究用反比例解决问题作铺垫。
(2)探讨用反比例解决问题的方法思路。
教师板书展示学生用反比例知识解决问题的两种方法。
【学情预设】预设1：解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
预设2：解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
师：刚才我还发现有的同学列出比例来解决这个问题，请你仔细观察，说说你的想法。
【学情预设】学生在交流时可能会出现两个问题：一是知道第一个解答是错误的，但并不知道为什么错；二是对第二种解答质疑，这不是比例，认为比例等号左右两边都是比，而25x与100×5都不是比，因此这样的比例不成立。
【教学提示】
学生对于用反比例知识解决问题一直有一个困惑，就是像25x=100×5这样的等式是不是比例。通过辨析，可让学生明确：用比例的方法解决问题，并非一定要将式子列成比例，我们可以根据反比例的意义，列出乘积相等的等式。反之，根据比例的基本性质，这样的等式也一定能组成比例。
师：看来大家有很多疑惑，这样吧，我们回到题目的信息当中，看看大家提出的问题能否得到解决。(出示课件)
【学情预设】引导学生完整表达：题目中相关联的两种量是平均每天用电量和天数，用电总量一定，也就是它们的乘积一定。所以平均每天用电量和天数成反比例关系，用关系式表示是：平均每天用电量×天数=总用电量。(板书：平均每天用电量×天数=总用电量)
师：经过分析，我们找到了题目中成反比例的两种量，就可以根据反比例关系来列出等式解决问题了。我要告诉大家，两种相关联的量，如果对应两个数的积一定，反比例关系就成立，列成乘积一定的等式，也是运用反比例方法解题的一种表现方式。现在你知道哪一种方法是正确的吗？
【学情预设】学生会说第二种解答是正确的。教师追问：那你知道第一种解答错在哪了吗？引导学生说出比例左边与右边的比值意义不同，所以不成比例。（教师擦除板书中错误的解法）
【设计意图】通过两种解答方法的比较，帮助学生理解用反比例知识解决问题的思路与方法，进一步理解反比例的意义。
(3)师生一起利用反比例关系解决问题。
教师指导学生说出解题的思路，即根据平均每天用电量×天数=总用电量列乘积相等的等式解决问题。
3.回顾与反思。
师：你认为原来5天的用电量现在可以用20天,这个答案符合实际吗？你是怎么检验的？
（1）小组讨论，汇报结果。
【学情预设】将答案代入到等式中进行检验，明确解这个问题的关键是找到哪两个量的乘积一定，只要这两个量的乘积一定，就可以用反比例关系解答。
【教学提示】
回顾与反思是提炼方法、总结经验的重要环节。要重视这个环节的指导。
(2)沟通“算术法”与“比例法”的联系。（出示课件并适时板书）
师：比较“算术法”与“比例法”，你有什么发现？
【学情预设】学生可能会说，算术法先算的是总用电量，而比例也是根据总用电量不变的关系来解决问题的。
师小结：两种方法在计算求解时殊途同归，只要用“原来每天用电量×原来天数=现在每天用电量×现在天数”这一关系式，知道其中的三个量，用算术法和比例法都能解决这个问题。
【设计意图】通过两种方法的比较，帮助学生沟通两种方法之间的联系，感受到用代数方法解决问题的一般性，明确用反比例解决问题的意义。
(3)变式练习，巩固用反比例解决问题。（出示课件）
师：请你用比例的方法试着解决这个问题。
学生独立完成后交流，指名学生板演。
【学情预设】解：设现在30天的用电量原来只够用x天。
100x=25×30
x=750÷100
x=7.5
指导学生明确：虽然未知量变了，但题中“平均每天用电量×天数=总用电量”的关系没变。
(4)比较用正、反比例解决问题的一般方法。
师：回忆一下，用正比例解决问题的步骤是什么？想一想今天用反比例解决问题的步骤，是一样的吗？
师生再次总结：
①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。
②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出相应的等式。
③解方程。
④检验并写出答语。
【设计意图】沟通正、反比例解决问题的联系，使学生在辨析中明确解决此类问题的步骤和策略，创建新的认知结构，使学生对用比例解决问题有进一步的认识。
三、实际应用，提高能力
1.完成教科书P62“做一做”第1、2题。
学生独立完成后，在小组内交流再汇报。
【学情预设】第1题：题目中的不变量是圆珠笔的单价，总价与数量成正比例关系，根据总价÷数量=单价来解决问题。
第2题：题目中的不变量是买圆珠笔的钱，数量与单价成反比例关系，根据数量×单价=总价来解决问题。
师：这两道题中都有单价、数量和总价，为什么一个用正比例来解决，一个用反比例来解决呢？
【学情预设】引导学生明确：因为两道题中的不变量不同，相关联的量也不同，它们所成的比例关系不同，所以用不同的比例知识来解决问题。
2.完成教科书P64“练习十一”第5、8、9题。
师：你能解决这几个问题吗？赶紧动手试一试吧！
学生独立完成后，集体交流订正。
【学情预设】这几道题都是用反比例知识解决问题，汇报时要求学生说出：题目中的不变量是什么，哪两种量成反比例关系，数量关系式是什么。
第5题：工作总量一定，每天工作的时间与天数成反比例关系，每天工作的时间×天数=工作总量。
第8题：这本文学名著的总页数一定，每天读的页数与天数成反比例关系，每天读的页数×天数=总页数。
第9题：收割的总面积一定，每小时收割的面积与收割时间成反比例关系，每小时收割的面积×收割时间=收割的总面积。第二问中要求共产小麦多少吨，就要先求小麦的总面积。第三问比较开放，可以提示学生首先对前面的信息进行整合和分析，再根据数量关系提出问题。例如：如果每小时收割0.5公顷，多少小时能完成任务？同样也利用反比例关系来解决。
3.课件出示教科书P64“练习十一”第12题。
学生独立解答后汇报交流。
【学情预设】
师：这里有两种不同的解法，你认为谁的解法是正确的呢？
【学情预设】预设1：第一种是错误的，因为他是用方砖的边长×块数，这个积不是表示客厅的面积。
预设2：第二种是正确的，因为在这道题中，客厅地面的面积是不变量，所以每块方砖的面积与块数成反比例关系。
师：我们在用比例解决问题时，要想清楚什么是不变量，这个量是怎么得到的，然后根据数量关系式列出正确的比例解答。
四、课堂小结
师：回顾今天的学习过程，你们有什么收获呢？
【教学提示】
指导学生用反比例解决问题，熟悉解决这一类问题的步骤与方法。知道要先找到题目中的不变量，确定哪两种量成反比例关系，再根据反比例关系解答。
教学反思
本课教学设计与用正比例解决问题类似，但在这节课中可以让学生自主迁移已有的知识经验，主动探究用反比例知识解决实际问题的方法。例如，如何梳理条件，如何分析条件与问题之间的联系，如何确定两种量及两种量之间的关系等。在这节课中，学生解决问题的思路更清晰，表达更简洁、准确，能从不同角度来思考并解决问题，能力得到明显的提高。教师要注重引导学生对正、反比例两类问题进行沟通和对比，体会解决问题思路的一致性。
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