利用洛必达法则求二元函数的极限陈朝晖，今天小编就来说说关于总结求二元函数极限的方法?下面更多详细答案一起来看看吧!
总结求二元函数极限的方法
利用洛必达法则求二元函数的极限陈朝晖
擒耍本文给出了二元无穷小量与无穷大量的阶的定义，将一元函数的洛必达法则推广列二元函数上。蛤出了二元函敦的洛曲
达法则，并利用它计算关于二元函数的：型与詈型未定式及其它类型的未定式极限。关键词二元函数洛．必达法则未定式二元无穷小量二元无穷大量
计算关于二元函数的两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定
式的极限时，往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则
或重要极限的形式进行计算。这种变形没有—般的方法．需视具体问
题而定，属于特定的方法"1。本文讨论利用偏导数为工具，给出求未
定式极限的一般方法，即二元函数的洛必达法则。
1 二元无穷小■与无穷大量的阶
在一元无穷小量的阶中，有这样的定义田：设)，=，∞为当，-÷o
时的无穷小量，若以x作为基本无穷小量，则当÷-．a≠o，(七为某一正数)时，称y为七阶无穷小量，此时y与靠'等价。类似地可
以定义二元无穷小量的阶。
定义l设二元函数．厂∽力为当似)．)一(o，o)时的无穷小量，若以
厢作为基本无穷小量，则当衢一口≠o， (t为某一正数)时，称，(毛y)为I阶无穷小量，此时，(毛y)与a(''一)·等价。
定义．2设二元函数，"y)为当工一一，y_一时的无穷大量，若
以厢作为基本无穷大量，则当器_口≠o，"为某一正数)时，称，似_'，)为七阶无穷大量，此时八'力与口(^2 y2)'等阶。
2二元函数的洛必达法则
定理l"若二元函致-，(工，力、g∽"丽足：
(1)在区域D内有定义。(‰，凡)为D的—个聚点；
(2)。j；叻、，，('，)。"。。点m^，"'n。o(3)在D内有关于工，y的连续偏导数，且
譬二(毛y)'& g：('y)方≠o
(4)。。瓤，怒筹端存在(或为无穷大)则舰，矧-舰，纂等曩等其中：出=工一而。砂=)，一儿
定理1只给出了当"力_(粕，儿)时的：型未定式极限的情形，下面推导出当工-÷鸭)，-÷一时的：型未定式极限的情形。
定理2设二元函数，(z。．，，)、g(毛J，)满足：
(1)蜘胤力2 0'岫g"力'o(2)对充分大的I|1及I．'．|。有对工及y的连续偏导数，且
譬：(x，)，)出 g：(')，)砂≠o
(3)烛募筹篆苦东酱存在(或为无穷大)则陋嬲=晒纂差揣其中：出=五砂；y
证：令，：三，y：三，则当x-鸭y- 。时，。- o'v—o，由多元
复合函数的求导法则⋯甓毒理l可得： ． ．粤筹2曾拳。曾筹端|lim坐雩些丝耸tlim坐剿一lim———J}—二二——}_t lim———}二—{盘g："烈一÷弘 F；"烈一古p 墨z似，)： j；似力；
。呦承砑再赫。烛五巧面菘丙丽其中：出￡。砂：y 证毕一定理l、定理2称为二元函数的洛必达法则(：型未定式)。对=
型未定式有类似的定理及证明。" 。
注：在：型或=型未定式中，如果自变量的变化过程为工． '，则出=x一而，如果工一一。则凼=工，同样，如y_儿，则砂=)，一儿，如，_÷一，则砂=J，。
有些二元函数的：型或三型极限，利用二元函数的洛必达法则后得到该极限的常数倍，则该极限与这个常数的范围有关。
定理3设。I!鲰。他，)-q挑‰m力～，且上瓯；器～。瓤；器则
(1)当，>l时，撬。粼'o(2)当o<，<I时，。慨，渊。-证明(1)：由于．，婪飘，"力'仉。盟!!。，"卵一，可设．厂似y)为m阶无
穷小量．譬似y)为对阶无穷小量，脚>o．一>o，即L厂"力～甙√万尹)。。g(毛力～故正河)。。口，o。6，o，于是抵，渊．撬筹雾．；胝糕
-毛‰看辱籍-暑牌。簧磊并。i。g‰葡露；f。i。3=}鼍{。菊i丽i-詈腮．，掰雾-暑撬嬲
又也‰矧～。胸。渊故詈=，。当，>l时，鲁>l又肼>O．一>O，因此肘>一>O，于是
'
。撬矧-撬等并-；撬'而～证毕同理可证(2)
注：(1)将定理3中的似力．．(o-o)换成(工，力- (而，儿)或x_-，
)．一一，结论仍成立。(2)当，=l时，该极限可能存在，也可能不存在，需用其它
方法求解。
翘萋4设蜘肥力--．魉-似力一，且脚矧-，晒矧，则，-，_ 一，-
(1)当，>l时，晒渊一(2)当o《r<l时，岫粼。o证法与定理3类似。
注：(1)将定理4中的工_一，y一一换成"力_‰。儿)，结论仍成立。
(2)当，=l时，该极限可能存在，也可能不存在，需用其它
方法求解。
3=元函数的洛必达法则的应用
例：ljm掣
解：触字一瓿坐等产业-liln坐塑竺竽里竺堕·linl(2l一2)"掣-2
●，，p■zm ，ll，H硼
注：矗=x一2'方=y—O=y (转121页)
万方数据
近萎缩一半，推测海岸线向盆地中心推进30—鲫km，}舻乎面下降幅度
大约是25，35m(按陆架倾角0．05。计算)，沉积岸线向盆地中心推
进．粗碎屑在盆地中心沉积，从现有地震记录识剐，低位砂体主要
分布在盆地中心的西部和北部，但是西部的规模明显大于北部。并
且在西部见到明显的切谷沉积。反映红河水系携带的沉积物绕过临
高凸起，蜿蜒从西南侧进入沉积中心，从ARc0公司的梅山组古地貌
图反映，沉积中心西侧在该时期存在规模很大的深切谷，切谷走向
垂直于地层等厚线，地震剖面上自西向东地层沉积、下超特征明
显，推测在当时西侧水系发育。而北面低位沉积特征不明显，推测
缺乏大规模物源供应，盆地在梅山组地层沉积期存在南北两个沉积
中心，其中北面的沉积中心分东西两个次中心和北边的次级低洼三个部分。在低水位时期，来自红河和马江的粗碎屑物主要沉积在西
边的次沉积中心，而来自东北方向昌化江的粗碎屑主要沉积在北边
的次级低洼处。综合分析莺北低位期砂岩主要沉积在北部沉积中心
的西侧和北部，东方l—l构造区在这一期间属于沉积中心的中央相
对高部位。不利于低位粗碎屑岩沉积，特别是在构造的东南侧，缺
乏大规模粗碎屑供应。
后期海平面快速上升，莺北地区主要以海侵沉积体系为主，在
离岸较远、靠近盆地中心部位，地层超覆现象明显，盆地边缘部位
地层酱遍较薄，为后期高位沉积体系域，主要为滨海一海岸沉积环
境，海口29-l构造与海口30-3构造问浅水沉积发育，形成滨海一冲
积平原沉积环境；临高一海口间的半封闭海湾沉积范围远远超出梅
二段沉积期，浅海沉积范围往北扩大至107区块，推测这个时期红河
入海处仍然处在盆地西侧，在15．5一13．8Ma期间红河入海处主要在北
面，由此可推测在13．8Ma前后，红河凹陷受挤压走滑，构造反转抬
升作用明显，临高构造带属于挤压作用削弱的地带，但仍然具抬升
作用，就是因为这种逐渐抬升作用，临高区逐渐变成半岛形高地，
红河也因为入海处地形的变化而绕道经盆地北西铡进入北部沉积中
心。这与河内凹陷一鸳北地区的断层由西北走向过泼到正南北走向
的现象是一致的。
在12．5Ma前后(对应国际地层年代11．6Ma)海平面有小幅度下
降，国际地层协会认定存在1．5Ma时问段的小规模冰期，鸳歌海盆地
海平面下降幅度比前13．8附近的规模要小许多，盆地中心部位地层界
面不清楚，推测未能形成二类层序界面。在lo．5Ma附近形成区域剥
蚀面，水道切割地层现象特别明显，在盆地边缘部位，缺失s4w—
s40地层。从现有的钻井地层推测12．5Ma—lo．sMa期问。莺北地区临
(接86页)例：垫軎等
解：蜘弗，懊尝。蜘鲁筹．姆南．。例：舰筹解：船。筹，。热，等辔-主撬筹由定理3及，=}l得。撬崭。o
二元函数的洛必达法则可推广到三元及三元以上函数的情形。饲：警端解：嘞筹-陋笔等糌-；畸筹由，。}l得陋揣一
4其它类型的未定式(o·鸭一一·．-o。，l-，*。)可化为：或三型的未定
饲：撬t未一≥解I撬彘一争t。．!i甄竺三睾-。‰号掣
-。撬丛型等业·瓿业擎!～H¨ "'W¨ 4
高20-l、海口29-1构造区主要为临滨浅水沉积环境，它们之问的半
封闭海湾环境范围相对早期变小。整个鸳北地区在T4w(12．5Ma)
界面下地层量叠瓦状前积，界面凹凸起伏。冲沟发育。区域环境分
析和钻井资料表明，鹭北地区的沉积环境主要为浅海环境，这种类
似沉积物大量进积的沉积特征主要是由于浅海海流、风暴共同作用
造成砂坝迁移而成．其特点是砂岩的厚度比较薄，呈反韵律，单个
韵律很少超过20m，优质砂岩主要分布在一个反韵律顶部，单个有效
储层—般不超过lom，同时海流作用形成大量的陆架水道切割，这种
切割作用对后期地层岩性圈闭起着关键作用。
(5)储层物性。中中新统地层目前埋深3000—400【lIT之问，砂岩实测岩心孔隙度平均在9％一14％，渗透率平均在O．6×lo-I一2．3×
104"m2|'日J。储层物性主要受沉积(泥质含量、颗粒粒度以及分选性)和成岩作用(压实和胶结作用)共同影响。泥质含置对浅埋藏
的储层影响较大，但深埋的储层孔隙与泥质含量相关性不明显，而
与填隙物含量(泥质与胶结物之和)有明显的负相关性，这说明泥
质含量已不是影响深层储层孔隙发育的主要因素，而成岩作用的影
响已占主导地位。压实作用是影响莺北地区埋深在3∞o一4000m之间
的砂岩孔隙度的主要因素，大多数井证实砂岩因压实作用损失的原
始孔隙度在5(1％以上。胶结作用破坏强度虽不如压实作用，但也是
造成储层非均性的原因之一。莺北区胶结作用损失的原始孔隙度在
30％之下，胶结物有(铁)方解石，(铁)白云石、菱铁矿，胶结
含量与视面孔率有一定的负相关关系。另外，较高的地层压力会阻
止压实作用的正常进行，使孔隙度减少的速度变缓甚至导致孔隙的
回升。
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．1im堕竺盟必尘等掣鲨盟三塾坦尘
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例：1．眦F ，∥'-．，}一●∞
解：先求取对教之后的极限z吐 2待
．舅‰内2蜊 ，l卜。酞号笋-船k≤茜三尝‰●Ⅲ¨ Ⅲ¨'，～Hq一一，⋯，-，F．矿-。瓿弱-撬寿～；撬加。
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作者简介陈朝晖(1970．)。理学士，讲师。研究方向：教学教
育。 (收稿日期：201'卜oI一29)
万方数据
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