▷教学内容
教科书P99例3及相关习题。
▷教学目标
1.体会图示在理解问题、分析解决问题中的作用，学习用几何直观分析、解决问题的策略。
2.经历问题解决的全过程，探索解决问题的途径、策略和方法。
3.感受数学知识与日常生活的联系，养成用简明、灵活的方法解决问题的习惯。
▷教学重点
分析数量关系，运用几何直观解决问题。
▷教学难点
掌握运用几何直观解决问题的策略。
▷教学准备
课件。
▷教学过程
一、 回顾旧知识，揭示课题
师：同学们，上节课我们学习了分数的混合运算，今天我们就运用这些知识来解
决一些生活中的实际问题。大家还记得解决问题的三个步骤吗？
【学情预设】这是学生多次学习过的内容，学生对于解决问题的基本步骤已经很熟知了，所以很容易记起解决问题的基本步骤。
师：今天这节课我们继续按照这样的步骤来解决一些新的生活问题。（板书课题：用分数加减法解决问题）
【设计意图】新课伊始，引导学生回忆解决问题的一般步骤，激活学生已有的学习经验，为新课的展开提供方法支持，同时，也使学生明确学习任务，增强后续学习的实效性。
二、 探究问题，建立模型
师：你们喜欢喝牛奶吗？乐乐也很喜欢喝牛奶，他在喝牛奶时遇到了数学问题。
课件呈现教科书P99例3。
1.收集、理解信息。
师：你从中读到了哪些数学信息？
【学情预设】由于学生经历过解决问题的探究过程，对于信息的整理具备了一定的经验和方法。因此，学生基本上可以借助列表、画图等方法进行信息整理，如发现“喝了两次牛奶”。对此，教师要追问：第一次喝的牛奶和第二次喝的一样吗？哪里不一样？教师可根据学生情况及时点拨，帮助学生在交流中理解题意。
集体交流，全班展示。
师追问：喝了几次牛奶？第一次喝了多少？第二次呢？两次喝的纯牛奶一样吗？加了多少水？水全喝完了吗？
2.自主分析，解决问题。
师：为了厘清、分析这些数学信息及其数量关系，请你们运用文字描述、列表、画线段图或示意图的方法来分析一下。
【学情预设】由于学生水平不同，选取分析数量关系的方式也会有所不同，不论学生选用哪种方法加以诠释，教师都要给予肯定，但要关注学生在分析数量关系的过程中是否厘清了一个关键性问题：“第二次喝的牛奶是多少？”如果学生未能解释清楚，教师就要及时抓住，在后续的学习活动中进行重点分析。
（1）学生独立分析数量关系。
（2）学生展示，交流汇报。
师：你能向大家介绍一下你的分析过程吗？
【学情预设】预设1：借助表格分析。
2：借助示意图分析。
预设3：借助线段图分析。
（3）对比交流，体会关键。
师：大家用不同的方法分析了题目中的数量关系，请你们对比一下，在这些数量关系中，关键点在哪？
【学情预设】学生在经历了数量关系的初步分析之后，对于题目中的关键点有了一定的感知。因为第一次喝掉的牛奶是一杯牛奶的，第二次喝掉的牛奶是“半杯牛奶的”，这里是学生容易理解出错的地方，也恰恰是解决问题的关键。
（4）图解关键，厘清关系。
师：在大家的分析中，第一次喝掉的牛奶是一杯牛奶的，第二次喝掉的牛奶是半杯牛奶的，这到底是多少牛奶呢？谁能想办法给大家讲清楚呢？
【学情预设】对于这一关键问题的理解，优秀的学生可以借助清晰的语言描述来分析，而很多学生则需要借助直观图来理解。因此，当学生遇到困难时，教师可以启发学生借助画图的方法来分析理解。
学生分析关键点，在纸上画一画，然后集体交流。
①借助直观图描述关键点。
课件动态呈现牛奶和水的变化过程。
②配合直观图分析数量关系。
师：喝了两次，肯定用加法来解答。第一次喝了杯，剩(1－)杯，喝完后加满水，纯牛奶不变，还是只有杯，又喝了加水后的，也就是把杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶占其中的1份。
杯的一半是（）杯。第二次喝的纯牛奶是（）杯，水
是（）杯。
一共喝的纯牛奶：___________水：___________
板书：杯牛奶的一半就是杯。
= =（杯）
答：乐乐一共喝了杯纯牛奶，杯水。
【设计意图】在以上教学环节中，教师引导学生依照解决问题的基本步骤，强化对数学信息的整理和数量关系的分析，特别是着重对关键点进行了直观分析。始终贯穿的方法支撑是几何直观，正是借助这一直观手段将抽象的数量关系加以具体化，促进了学生对数量关系的深入理解和应用。
（5）回顾反思，总结方法。
师：我们利用画图法得出的结论到底对不对呢？可以怎样检验？
【学情预设】学生借助学习经验可以想到倒推验证的方法，如把喝掉的牛奶与剩下的牛奶加起来看是否是一杯牛奶，或者把喝掉的水与剩下的水加起来看是否是半杯水。
师：解决这道题的关键是什么？关键步骤利用了什么知识？
【学情预设】由于学生经历了借助直观图分析数量的过程，因此，对于解决问题的方法记忆深刻，可能会作出如下解答：①每次喝的半杯中都是剩下纯牛奶的一半，第一次喝的是整杯纯牛奶的一半，第二次喝的是剩下半杯纯牛奶的一半。②分数的意义、分数加减法、画图法等知识。
【设计意图】这一环节中，教师借助问题的形式引导学生回顾解决问题的过程，促进学生对数量关系的理解以及学习方法的领悟。
三、巩固应用，深化模型
1.师：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，觉得还是有些凉，就又兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
学生独立完成，然后集体订正。
师：你能继续填下去吗？
2.一杯纯牛奶，乐乐喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
学生独立完成，然后集体订正。
【设计意图】解题能力的形成需要经历一个从理解到应用的过程。因此，在学习新知识之后，设置两道类似的练习题强化学生解决问题的思路和方法。此外，将题目进行了适当拓展，不仅激发了学生的学习兴趣，同时也促使学生去探究此类问题的规律。
四、课堂小结
师：这节课我们学习了什么知识？我们是怎样进行探究的？
师：喝牛奶问题是一个很有意思的数学问题。我们的古人早就研究过这类问题。我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是长为一尺的东西，今天取走它的一半，明天在剩余的一半中再取走一半，以后每天都在剩下的一半中取一半出来，这样永远都不会取完。
【设计意图】课尾，教师不仅要关注数学知识和方法的回顾与总结，更要借助一道数学古题将学生的学习兴趣拓展到课外。
▷教学反思
解决问题的难点在于理解抽象的数量关系，而解决这一问题的有效方法就是借助几何直观。在本课的教学中，重点不仅放在了对典型问题的分析与掌握上，更重要的是引导学生深刻领悟借助几何直观来分析问题、解决问题的方法。这一方法始终贯穿在教学中，从信息的整理，到数量关系的分析，再到关键问题的剖析，无一不用到几何直观的方法。数学的思想方法即便是经历岁月的磨蚀仍然会绽放出灿烂的光辉。这才是学生终生受用的最有价值的东西。
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