一、函数奇偶性的概念

1. 一般地,对于函数f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地,对于函数f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

注:奇偶性是针对整个定义域而言的,而单调性是针对定义域内的某个区间而言的,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2.按奇偶性分类,函数可分为四类:

奇函数非偶函数偶函数非奇函数非奇非偶函数亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象:

奇函数的图象关于原点成中心对称,偶函数的图像关于y轴对称。

函数奇偶性判断方法和定义(函数奇偶性的判定方法和相关知识总结)(1)

奇函数

函数奇偶性判断方法和定义(函数奇偶性的判定方法和相关知识总结)(2)

偶函数

4、函数奇偶性的性质:

①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称

②若f(x)是奇函数,且x在0处有定义,则f(0)=0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反,最值相同

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤如果有函数g(x)和f(x),则他们的复合函数f[g(x)]的定义域是关于原点对称的。当u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;当u=g(x),y=f(u)都是偶函数或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

5.几个与函数奇偶性相关的结论:

①奇函数 奇函数=奇函数;偶函数 偶函数=偶函数;

②奇函数×奇函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数。

二、判断函数奇偶性的步骤:

①、求f(x)定义域,判断定义域是否关于原点对称;不对称则是非奇非偶函数,对称转下一步

②、化简f(x),再求f(-x),比较两者的关系

③、根据定义定义得出结论。

函数奇偶性判断方法和定义(函数奇偶性的判定方法和相关知识总结)(3)

函数奇偶性判断方法和定义(函数奇偶性的判定方法和相关知识总结)(4)

三、抽象函数奇偶性的判断

方法:判断抽象函数的奇偶性常用赋值法。在已知抽象函数关系中凑出f(-x) f(x)或者f(-x)-f(x).一般先去探求f(0)的值(或者f(1)、f(-1)的值),再令y=-x,从而产生f(-x)和f(x)的关系。

函数奇偶性判断方法和定义(函数奇偶性的判定方法和相关知识总结)(5)

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