小时候，有谁没做过“应用题”的噩梦？比如那道著名的“鸡兔同笼”。
"鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只？"
还有若干“鸡兔同笼”变体："鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。鸡兔各几只？鸡、兔同笼，兔比鸡少15只，脚数共有282只，问：鸡、兔 各几只？"
这道成了无数人童年噩梦的数学应用题，1500年前就有了！古人们的数学脑洞，那不是一般的大。
十进制算筹计数法
算筹计数法
十进，就是以十为基数，逢十进一位。十进制计数法在我国原始社会已开始萌芽，到奴隶社会初期的商代已发展成完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。
1899年，河南安阳发掘出大约3000多年前的殷代甲骨文，其中有一片甲骨上刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”（八日辛亥那天的战争中消灭敌方2656人）。说明我国在公元前1600年，已经采用了十进制计数法，早于第二使用者印度1000多年。
十进制计数法，是我们祖先对人类文明的一项不可磨灭的贡献。马克思在《数学手稿》中称十进制计数法为“最妙的发明之一”，英国著名科技史学家李约瑟博士评价说："如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。"
勾股定理
《勾股圆方图说》注解图
几何学是数学中最古老且最基础的分支之一。勾股定理被称作“几何学的基石”。关于勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，其实我国是发现和研究勾股定理最早的国家。
据《周髀算经》记载："故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。"
由于《周髀算经》记录的是公元前11世纪政治家周公与大夫商高的讨论，所以它又被称为商高定理。
三国时代的赵爽则在《周髀算经注》里对勾股定理做出了详细注释。将勾股定理表述为："勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。"
证明方法叙述为："按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。"
他撰成《勾股圆方图说》，附录于《周髀》首章的注文中，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
时至今日，初中数学教材的证明勾股定理的方法依旧采用的赵爽弦图。
首创的“割圆术”与先进的圆周率研究
刘徽“割圆术”示意图
“割圆术”是一种用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。这个方法是魏晋时期的数学家刘徽首创的。
“径自相乘，三之，四而一”，是中国古代算数书所表述的圆的面积计算方法。意为圆的面积就是用圆的直径的平方，乘以三，再除以四。由于古人并不知道圆周率，用这个方法计算出来的结果往往误差很大。刘徽不满足于这个结果，以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，并求得了3.14这个近似数值。
自此之后，“割圆术”在圆周率计算史上被长期使用，作为最早的计算圆周率的方法一直为人们称道。
刘徽之后约200年，大学者祖冲之进一步将圆内接正多边形边数增加到24576，在计算了一万多遍之后终于得出圆周率在3.1415926至3.1415927之间。他是世界上第一个把圆周率的数值算到小数点以后七位的人，此后约1000年中，这始终都是当时世界上最精确的圆周率数值。欧洲数学家奥托在一千多年以后，才算出了这个数值。
测量太阳高度的重差术
《海岛算经》示意图
古人很早就知道，把角尺直立在物体的水平位置上，对准要测量的物体，使物体的最高点，与角尺两边上的两点连成一线，利用相似直角三角形对应边成比例的性质，就可以把物体的高度计算出来了。数学家刘徽就系统地总结并举例解释了这种方法，撰写成专门的一卷《重差》，附在古代数学名著《九章算术》之后。因为它的第一题是关于测量海岛的高和远的问题，所以《重差》在后面也被叫做《海岛算经》。
古人对于世界的探索思想也是无穷无尽的，那太阳究竟有多高呢？有的天文学家认为天圆地方，于是他们就将这种方法应用到了测量太阳高度上。地球是一望无际的平地，太阳的高度是可以在特定的时间和地点测量计算的。
他们用一根八尺长的标杆，选定夏至这一天，在南北相隔一千里的两个地方分别测量出太阳影子的长度，再根据相似直角三角形对应边成比例的性质，得出太阳离地面的高度。但是，因为假设地面是平的，不符合实际情况，所以得出错误的结果。不过，“重差术”这种数学方法是正确的。
《海岛算经》（《重差》）是中国最早的一部测量数学著作，为地图学提供了数学基础，标志着中国古代测量数学的伟大成就。
1500年前的“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题示意图
大多数人听到鸡兔同笼就想起被数学支配的恐惧，不过这个问题可是早在1500年前就被提出和记载在《孙子算经》里了，被称作古代著名的三大趣题之一。
原题是："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？"
意思是：现在有若干只鸡和兔子被关在一个笼子里，有35个头和94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔。
孙子的解法是：砍去其中一半的脚，那么现在就有47只脚，鸡变成了“独脚鸡”，兔变成了“双脚兔”，每只鸡的头数与脚数之比变为1：1，每只兔的头数与脚数之比变为1：2。
由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数目多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是只数，即兔的数量是：47－35=12（只）；鸡的数量是：35－12=23（只）。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。
