向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(1)

寻找以下无穷级数的一个闭型(所谓闭型即精确值):

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(2)

上面这个级数我们称之为巴塞尔级数,和调和级数非常相似,只不过分母都是自然数的平方。这个问题在其提出后46年,1735年,被年轻的欧拉所破解,该级数收敛至(π^2)/6。欧拉不仅对于巴塞尔问题给出了解,而且在1740年给出了对于那些n是偶次方的级数的解(如下式,其中B为贝努利常数:)

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(3)

但对于n是奇数的情况,欧拉什么也没有说。直到1978年,才证明了n=3时这个数是个无理数。

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(4)

ζ函数的级数的收敛值随着n的不同而不同,对于偶数我们有欧拉给到的具体结果,对于奇数我们知之甚少。而上式也让我们和黎曼ζ函数有了第一次联系,黎曼将他1859年的论文中有关上式的变量n改成了s,如下式:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(5)

我们知道当s=1的时候,级数是发散的,当s>1时,级数收敛,那么针对每一个s(s>1)都有一个相对应的值,我们把它绘制成图形就如下图:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(6)

而当s<1时,你可以很快发现这个级数都是发散的,那么对于黎曼ζ函数上图就是全部的图形吗?当然不是。

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(7)

我们利用埃拉托色尼筛法对ζ函数的连加形式做一些调整。首先等式两边同乘1/(2^s),得到:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(8)

我们用ζ函数减去上式,即消去了所有2的倍数的项,得到:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(9)

我们依葫芦画瓢,上式再乘1/(3^s),得到:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(10)

仍然让两式相减,得到:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(11)

如果我们继续不断的做下去,会将把所有的素数都提取出来放到了等式的左边,而等式的右边则为1:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(12)

我们把上式整理一下,把所有的素数挪到等式右边,用连乘积符号表示如下:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(13)

这样和所有自然数相关的一个和,与所有素数相关的一个积就这样联系到了一起,这就是欧拉乘积公式,它将一个连续的和变成了连续的积:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(14)

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(15)

要介绍这个函数牵扯到微积分,我这边不多赘述,导数指的是函数曲线的切线斜率,积分指的是函数曲线下方的面积。而Li(x)其实是对1/ln(x)求积分得到(如下式),为什么特别用这么个符号,因为这个积分无法用初等方法表示。

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(16)

附送它的图像:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(17)

为什么要提到这个函数,因为它是对素数个数π(x)的一个更好的估计,修正后的素数定理可以表示为:

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(18)

下图展示了,2个对于素数个数估计的近似结果,可以看出Li(x)更接近于实际值。

向量积的使用方法(小明聊黎曼3)(19)

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