原文：plus.maths.org/content/os/issue29/features/quadratic
译者：道可道 翻译小组成员
校对：公理 翻译小组成员
一元二次方程帮助人类插上双翅
一元二次方程与二阶微分方程的联系不是巧合： 在牛顿第二运动定律里它们被描述为力和加速度之间的密切联系。当牛顿用公式阐述这个定律时，他主要考虑的是刚体的运动。然而，他很快认识到这个定律能被应用到像水和空气这样流体的运动中。特别是，应用牛顿定律可能找到流体速度和压力之间的关系。这些定律的复杂形式（被称作纳维叶-斯托克斯和相关的偏微分方程）用超级计算机解出从而用于天气预报。然而，一个特殊解，对许多类型的流体流动都是适用的，在飞行基本原理的发现中是关键要素之一。这个结果的价值是不可估量的，并和被称为伯努利方程的一元二次方程有关联。
二次方程帮助人们天空翱翔, 图片自 DHD Photo Gallery
.伯努利家族产生了许多数学家，他们各自并且一起在数学上做出了大量的贡献。其中之一，雅各布·伯努利，观察了空气运动的方式。他发现，如果用速度 u 和压力 P 来观察空气的稳定流动，一个空气粒子在高度 h 运动，那么有不变的 E（空气粒子的能量）有下面等式
值得注意的是，如果 h是不变的，那这个公式说明如果 u 增大则 P 减小。这称为伯努利效应。这是应用牛顿运动定律的直接结果，只适用于光滑运动的、不太粘的流体。然而，这个一元二次方程非常准确，足以说明飞机机翼上空气流动的情形和飞机为什么会飞。
许多简单的实验能够揭示伯努利效应。最简单的办法是把两个乒乓球挂在几公分的棉线上。然后在它们之间轻轻吹拂，看看发生了什么。它们不是被吹分开来，相反的，它们移动到了一起。
这说明，当流体速度增大，由流体（空气）产生的压力减小。你可能以为一个流动的流体会施加更多的压力，但是这里我们讨论的是侧向压力，而不是流体本身惯性产生的力。这就是风吹拂时你感觉到的力量。
一个更极端的实验，也更能说明问题，涉及另一个乒乓球。在一个倒过来的漏斗里，开始往下的吹气。
如果你使用一股稳定的空气流和一个足够大的漏斗，你应该能够平衡住这个乒乓球。实际上，一个后置式真空吸尘器，一个乒乓球和一个厨房用的大点漏斗就能重现整个实验。这看上去非常奇怪，向下的气流似乎将将球向上吸。然而，它完全符合物理原理！
为什么复系数一元二次方程导致了手机的出现
让我们停下思考一会儿，当我们对一个数取平方的时候发生了什么：也就是说，当我们取出x 算出 x²。我们注意到一件事，无论我们对 x 取何值，x² 总是非负值.因此，x²=-1 不可能有解。数学家们处理这个问题的办法是不管这个，定义一个解！字母 i 被用来表示 x²=-1 的一个解，i²=-1。所以，i 不可能是实数,它被称为虚数。请注意
所以 x=-i 也是方程 x²=-1 的一个解.
历史上，虚数最初为人所知是在解三次方程的时候，而不是二次方程。最令人困惑的是，使用这些神秘的虚数，就有可能解出三次方程。事实上，在其计算过程中虚数的引入被证明是真正有效的解决办法。
这个数学上的修正需要证明是正确的！否则，当我们遇到一个无法解决的问题时，可能会不断地发明新类型的数。最终，我们会用完所有的字母，并且还不能理解这些新的数字是怎样相互关联的。那这就让人对数学会大失所望。所幸这个影响深远的数学结论是事实上再度发明新类型的数最终完全没有必要。用大家熟知的复数作为实数和虚数的组合，最终将足以解决所有的数学问题。第一个很自信的使用虚数的人是莱昂哈德·欧拉，生于1707年卒于1783年，他的其它的疯狂而大胆的数学计算方法请查看《令人惊奇的无穷级数》里由克里斯·桑格温发表在第19期里的 PLUS 期刊中。
虚数 i 出现在数学上最漂亮的公式之一，连接了 π, e （自然对数的底数）和 i ，
这是一个更常用结果的特殊形式，经由复数连接了指数函数 e^x 和三角函数 sin(x)，cos(x)。欧拉发现
两个三角函数是振荡项，周期性地重复变化。这个公式提供了一种视角，理解微分方程怎样模仿阻尼摆，阻尼摆有一个关于项
，并且有振荡解. 如果 w 是虚数，或复数，欧拉的公式允许指数项作为三角函数 sin(t) 和 cos(t) 的组合表示出来。
虚数在物理世界的另一个很重要的应用来自量子理论。这个理论涉及微观现象，微观尺度下物理量（比如电子或光子能量）表现的像粒子和振荡波。如同我们所见，震荡行为能用i 来描述。量子理论的基本方程被用来计算一个物理量的波数（处于特殊位置的概率）是薛定谔方程。这是一个包含 i 的（偏）微分方程， 可写作
这个方程有许多实际的应用。通过应用这个方程可以预测电子和半导体的空穴运动，从而可能设计出具有大量能够执行极为复杂任务的元器件的集成电路。集成电路居于现代科技的核心，包括电脑、汽车、光盘播放器和手机。手机通过将你的语音转化为高频无线电波来工作，而这些电波的行为可进一步通过使用含有i 的公式计算出来。于是我们有理由说，没有这个简单的二次方程
，手机永远不会被发明出来。(未完待续)
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