小船渡河问题
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小船渡河问题
可以基于以下几点进行理解和分析
（1）将船的实际运动看成船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动．船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向．
（2）如下图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船在静水中的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v静水cos θ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sin θ为船在垂直于河岸方向的运动速度．两个方向的运动情况相互独立、互不影响．
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两类渡河问题
（1）渡河时间最短问题
问题:船在静水中的速度为v船，水流的流速为v水．船怎样行驶才能使过河时间最短呢？最短时间是多少呢？
解决:为船任意选择一个行驶方向进行研究，如下图所示，船头与河岸的夹角为θ．那么，船速可以分解为：用以过河的v1和顺流而下的v2，v1垂直于河岸，v2平行于河岸．
v1=v船sin θ
v2=v船cos θ
（1）从物理角度分析，顺流而下的速度v2对过河毫无意义，他叠加到水速的效果上，只是使船沿河向下游的速度变大了而已．只有v1才有意义．那么当船头垂直于河岸行驶时，速度就不会浪费了，所以船头应该垂直于河岸行驶．
（2）从数学角度分析，当90°时，v1最大，过河时间最短．
以上两种分析方法殊途同归，得到相同的结论：
敲黑板！！！同学们看过来啦！
虽然这样过河时间最短，但是，位移不是最短的哦！小船真实的运动轨迹如下图所示．
（2）渡河位移最小问题
问题1:船在静水中的速度为v船，水流的流速为v水，v船>v水．船怎样行驶才能使过河的位移最短呢？最短位移是多少呢？过河时间是多少呢？
分析:船即使不开动自己的动力，也能获得一个水给它的速度v水，即船顺流而下．船还有自己的动力能产生速度v船．
船头朝向不同，船行驶的真实轨迹就会不同，这样船可以行驶出无数条轨迹．很明显其中垂直于河岸的轨迹位移最短．
解决1:
①合成法
水给予船的漂流速度大小和方向不变，为了使船的真实轨迹垂直于河岸，就需要通过调整船头方向，使船速与水流速合成一个垂直于河岸的实际过河速度，如下图所示．其中：设船与河岸的夹角为α，则
②分解法
为了抵消水流的影响，船必须有一个逆流而上的速度v船1，且v船1=v水，另外船还必须有一个垂直于河岸过河的速度v船2，它们是v船的两个分速度．所以，船头必须沿斜向上游方向行驶．设船与河岸的夹角为α，则
以上两种分析方法殊途同归，得到相同的结论：
敲黑板！！！同学们看过来啦！
虽然这样过河位移最短，但是，时间不是最短的哦！
问题2：船在静水中的速度为v船，水流的流速为v水，v船<v水．船怎样行驶才能使过河的位移最短呢？最短位移是多少呢？过河时间是多少呢？
分析：船是否能垂直河岸过河呢？因为v船<v水，所以船即使全力以赴也不足以对抗河流给它的影响．不论船头方向如何，总是被水冲向下游，即v合一定会偏向河流下方．船走不出垂直于河岸的轨迹．
虽然走不出垂直于河岸的轨迹，但是由于船头不同的指向，依然可以走出无数条不同的轨迹，在这些轨迹中跟河岸的夹角最大的轨迹位移最短．
解决2:当船头指向与水流方向成θ角时，依据运动合成的平行四边形定则，船的实际运动速度v合表示如图．
应用矢量三角形法则，平移v船，使v船和v水首尾相接，连接v水的首端和v船的尾端的有向线段就是v合．
随着船头指向变化，v船绕着v水的尾端形成一个半圆，v水不变，v合的大小与方向均发生变化．当v合与半圆相切时，与河岸的夹角最大，这时船过河的位移最短．
当v合与半圆相切时，v合与v船成直角，设船头跟河岸的夹角为α，则有：
cos α=v船/v水，（α与θ互补）
v合=v水sin α
最短位移xmin＝d/cos α
过河时间t=d/（v船sin α）
敲黑板！！！同学们看过来啦！
当面对复杂问题没有头绪的时候，聪明的人总是先任选一种情况进行探索，找一下规律，例如刚才我们就是通过研究船头与河水流向成θ角时的情况找到了解决问题的方法．
下面包sir还为大家准备了一个关于小船如何渡河距离最短的视频，希望看完同学们对此类题目能有更直观的感受~
示范例题
例题1.（解析题）小船要渡过200m宽的河，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s．
（1）若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
（2）要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多久？
（3）小船渡河的最短时间为多少？
（4）若水流速度为5 m/s，船在静水中的速度为3 m/s，则怎样渡河才能使船驶向下游的距离最小？最小距离为多少？（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，结果取整数）
【答案】
（1）50s时在正对岸下游100m处靠岸；
（2）船头与上游河岸成60° ; 历时
（3）50s
（4）船头与上游河岸的夹角为53°；最小距离为267m；
【解析】
（1）小船渡河过程参与了两个分运动，即船随水流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河时间等于它在垂直河岸方向上的分运动的时间，即
小船沿水流方向的位移
s水＝v水t⊥＝2×50m＝100m
即小船将在正对岸下游100m处．
（2）要使小船到达正对岸，即合速度v应垂直于河岸，如下图所示．
则
（3）考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角α，如下图所示．
小船的渡河时间取决于小船垂直于河岸方向上的分速度
v⊥＝v静水sin α
故小船渡河时间为
当α＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50s．
（4）因为v′静水<v′水，所以小船不可能垂直河岸横渡．如下图所示．
设船头（v′静水）与上游河岸成β角，合速度v′与下游河岸成γ角，可以看出γ角越大，船驶向下游的距离x′越小．以v′水矢量的末端为圆心，以v′静水的大小为半径画圆，当合速度v′与圆相切时，γ角最大．
代入数据解得
x′≈267m．
点拨
小船渡河问题主要考查合运动与分运动的关系，要弄清物理情境．要使小船渡河的时间最短，只要小船在静水中的速度方向垂直河岸即可，但是求渡河的最小位移时，要注意小船在静水中的速度与水流速度的大小关系，选用不同的分析方法．在分析求解具体问题时，要明确小船渡河时其航行的方向为合速度的方向，这是解答此类问题的关键．
内容摘自：包学习APP_动态教辅《 运动的合成和分解 要点2 小船渡河问题（人教新版 必修2 第5章 第2节 ）》，欢迎下载学习更多知识
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