引爆思维的撞针，从欧拉《哥尼斯堡七桥问题》论文遗稿谈起（一）
接上文，本文续完。
(10)用此法总能判断,当通到各处的桥数都是奇数时,能否通过一次散步遍历每桥恰一次:如桥数加1等于各字母应出现的次数之和,则路线存在;若这和大于桥数加1,则不存在.且我在(8)中提出的按通到A的桥数来确定A出现次数的规则,与桥的另一端通往何处无关.
注释：
①上述解决方法的推广，即“七桥问题”条件的特殊性推广，得到一个解决所有奇点网络的推广：“通向各处的桥数是奇数”。
思考：如果是偶数哪？这个方法还适应吗？如果不可以，是对原结论进行调整还是另外需求推导方法哪？
②方法的使用技巧：问题只与“进来”的次数有关，与“出去”的方式及通向何处无关。
(11)当通A的桥数是偶数时,须分A是否是出发点两种情况.如通A的桥数是2,则当由A出发时,A必出现2次(出一次,入一次),否则,A只出现一次.因按我的记法,A这次出现,既表示进入A,又表示从A出去;
(12)假定有4桥通A,若从A出发,A出现3次,否则,出现2次;如有6桥通A,A是起点时,A出现4次,否则,出现3次一般地说,如桥数为偶,则字母A出现次数,当A非始点时,等于桥数之半,为始点时等于一半加1.
注释：
①上面两段中的“出发点”，应该理解为“行走路线的端点”，因为它同时包括“归宿点”（路反过来走，归宿点就是出发点），故而，“非出发点”就是路途中的点。
②解决了偶点的字母出现规律：当A非始点时,等于桥数之半,为始点时等于一半加1.
至此完全解决奇点与偶点的字母出现规律的问题。
(13)由于每条路必从某处出发,则可按下法计算各字母在路线表达式里出现的次数:当所通桥数为奇数时,加1再除2;为偶数时,除以2.如所得各数和等于总桥数加1,散步可实现,但须从通奇数座桥处出发;如和数等于总桥数,则散步也可实现,只须从通偶数座桥的地方出发(因这时和数须再加1,于是等于总桥数加1)
注释：总结出一般算法。
(14)为判断在任一河——桥系统里,能否过每桥恰好一次,我们的程序是:①把被水隔开的地区用符号A,B,C等表示;②取桥的总数加1,放于顶格;③表的第一列写A,B,C,…第二列写A,B,C…连接的桥数;④对应偶数的字母打“*”号;⑤将第二列偶数折半,奇数加1再折半,写在第三列;⑥第三列各数求和:如此和比顶数少1或等于顶数,则路线存在,且当少1时,从打星号地方出发,相等时,从无星号地方出发.对哥尼斯堡七桥问题,表出如下
因和数>顶数,故要求的路线不存在.
注释：
①把原来的语言叙述过程概括为表算程序，把语言文字转化为数学符号语言来重新表述。
②转译决不是无聊的游戏，它是从一种形式到另一种形式的转换，而恰当的数学表述就更加重要，学会它，就学会了一件用数学语言描述现实的本领，伽利略说：“数学是上帝书写宇宙的文字”。转译的时候注意转化的等价性，语言的歧义性及便利性。
(15)考虑四河两岛15桥问题(如图3):问是否可安排一条路,遍历每桥恰一次?
选用的字母符号如图所示,按(14)中所述,表出如下
由于第三列各数和等于顶数16,因此路线存在,但须从无星号字母D或E出发.如下是其中一条(小写字母表示所过桥)
EaFbBcFdAeFfCgAhCiD kAm EnApBoELD n
注释：
桥的问题解决了，已经找到相当简单的判别方法。但是，这必定还要列个表来计算。还有没有更简单的方法？观察所列的表，其中似乎透露出某种更深刻的规律，于是，欧拉继续前行。
鉴赏：
对解题的启示：你能用不同的方法来解决你的问题吗？你明白两种解法的区别吗？你知道两种解法的联系吗？哪一个对本题来说更为优越、简单？是什么原因使它简单，简单的方法适应此类所有的题目吗？是不是有什么隐含的条件使它简单呢？那个所谓繁杂的方法为什么繁杂？有改进的可能吗？它对其他的同类问题也时繁杂的吗？
你的解法是否有重复的论断过程？你的解法还可以更简单吗？画个流程图对你会有帮助吗？
多思出上策
向更深处
(16)对相当复杂的情形,如上方法都可解决了但由之还可引申出更为简单的方法,只须稍做准备.首先,第二列各数之和,必为总桥数的2倍,理由是:一桥通两地。
(17)由此可知,第二列各数和定为偶数(=总桥数的2倍),因此,在这些数里,奇数必有偶数个.例如,在七桥问题中,A,B,C,D对应的都是奇数,即有4个奇数在(15)节的例子里,D,E两地对应的为奇数.
(18)由于A,B,C,…对应的数之和为总桥数的2倍,因此,加2再折半必等于三列顶数.当第二列均为偶数时,第三列各数均为对应数之半,故其和比顶数少1.因而路线存在且从任一处出发均可.如七桥问题中每桥安排走2次,则通各地的桥均相当于偶数座,则必存在合适路线.
(19)其次,当第二列仅有两个奇数时,则第三列各数中,有两个是第二列相应数加1的一半,因而其和等于桥数加1,即等于顶数,故所求路线存在,但须从通奇数座桥的地方出发.
进而,当第二列有4个(或6个,8个等)奇数时,显然第三列中各数和将比顶数多1(或多2,多3等),因而要求的路线不存在.
(20)于是,对任意河——桥图,可用如下法则判断“能否把每桥恰走一次”:
鉴赏：
你能应用这个结果嘛？尽量拓展你的解题成果，总结你的经验、教训，反思你的整个过程，再次回头的看看你的问题和你的方法。这将有助于你用何种姿态面对你的下一个问题。
(21)在确知路线存在以后,还要把它找出来,方法是:如可能,想象着把连接同一对地区的任意两座桥抹去,使桥数大大减少.然后,可轻易地在剩下的桥图上描出路线,最后,再把抹掉的补上,补描出路线,就可以了。
数学是上帝书写宇宙的文字
解读：
①至此，欧拉完全解决了“n桥问题”。由（16）～（21）讨论的过程和结果不难看出，欧拉使用的是“桥”、“地方”、“通到每个地方的桥数”等语言，但事实上已完全不涉及它们的具体含义。如果分别把它们换成“边”、“顶点”、“顶点的次数”等图论语言（这是历史的局限性，非欧拉的问题），则欧拉在（17）～（20）中叙述的结果，就是图论中的基本定理了。
②按照现在“一笔画”的点线图解决方法，欧拉的证明结果就是：
⑴点线图奇顶点必有偶数个；
⑵一笔画的奇顶点的个数为0或2，奇顶点的个数超过2的，一笔画不成；
⑶连通的且奇顶点个数不超过2的点线图必可以一笔画成（无奇顶点时，可从任一顶点出发，仍可回到这个顶点；有两个奇顶点时，从其中一个出发，回到另一个）。
③回顾从（1）～（21）整个过程，可以看到，欧拉在“弄清楚问题”之后，对原问题进行数学抽象，抓住问题实质，确立相应的概念，引入相应的符号系统，把原生的生活问题抽象转化为一个纯数学问题。继而，把这些概念用图形和符号表示出来，搞清楚符号的规律，通过对符号的操作进行思维。最后，通过推理证明，获得严格的结论，并最终解决了n桥的问题。如果不运用符号（图形与字母），恐怕要做到如此完美，是比较困难的。
全文鉴赏：
①欧拉的论文中并没有展现他在思考过程中的遇到的困惑（他肯定遇到了，毕竟一门的新学科的理论基础是非常不容易建立的），以及他是如何解决的，这不能不说是个遗憾。不过他已经给我们展现了他火热的且有条理的思考过程，还要什么自行车？太过了吧！
②给我们提供了最好的数学建模教学过程，对照下表你能画出“七桥问题”的详细建模流程图吗？
教育家G·波利亚形象地指出:"好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个."
③你能对欧拉的结论进行在推广吗？既然可由一笔画成的脉络，其奇点个数不多于两个，那么，两笔画成或者多笔划能够画成的脉络，其奇点个数应该又怎样的限制？你能证明吗？
如果提议在建一些桥，最少建几座？建在何处？才能使每桥恰过一次又能返回出发点？如果不回到出发点呢。
④“七桥问题”中的奇点个数是4，（15）中“四河两岛15桥”问题中奇点的个数也是2个，为啥这两个问题中的奇点都是偶数，巧合吗？猜想：是不是所有的脉络中奇点的个数都是偶数呢？答案是偶数个。这个证明比较简单，你能证明出来吗？
你还可以提出那些问题？欢迎在下面讨论。
答案：
③“含有2n(n>0的整数)个奇点的脉络，需要n笔划画成。”
④证明很简单:我们可以设想如同下图那样,拆去原来网络中的某条弧线。这样一来,要么奇点增加两个,偶点减少两个;要么偶点增加两个,奇点减少两个;要么奇偶点不增也不减,除此之外别无第四种可能!所有上述情形,网络奇点数目的奇偶性都不会改变。如此这般,我们可以把网络中的弧线一条又一条地拆去,直至最后只剩下一条弧线为止这时奇点数目明显为2,从而推出原网络的奇点数目一定为偶数。
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