从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。
第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的；
第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后，由于对无穷小量的理解未及深透而引发的；
第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。
第三次数学危机
在19世纪下半叶，经历2次数学危机后，严格建立了实数理论和极限理论的。法国大数学家庞加莱在1900年巴黎召开的国际数学家大会宣称：“数学的严格性看来直到今天才可以说是严格实现了。”
他对实数理论和极限理论的基础集合论给以了很高的评价，但事隔两年，在1902年突然传出了一个惊人的消息: 著名的哲学家、数学家罗素发现了集合论的概念本身岀现了矛盾。这就是罗素提出的著名集合悖论：“宇宙是不存在的。”
这个悖论通俗地说，即宇宙是由一切事物组成的集合，而宇宙本身也是一个事物，所以宇宙也应属于这个集合，而这是不可理解的。因为一个集合与组成这个集合的元素是有着本质区别的。也就是说，这个包罗万象的宇宙是不能存在的。因为，若宇宙存在，就会引出矛盾。写成集合语言为：
设S表示是由所有集合组成集合，即
S={x|x是一个集合}，
无论S属于或不属于自身都会产生矛盾。
这样，罗素的悖论涉及集合论中一个最基本的概念“集合”。罗素悖论使得“任何确定条件的对象都可决定一个集合”这一条原则导致了矛盾。
这个矛盾大大动摇了集合论的基础,同时，也动摇了整个数学的基础，所以称此为第三次数学危机，为了消除以上的矛盾，数学家提出了各种不同的解决方案。后来公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论。所有集合组成的是一个类，而不是一个集合。
上面对悖论的解释太抽象，能通俗的解释这个矛盾吗？
来看看这个悖论的通俗解释：萨尔维村里的一名理发师，给自己立了一条店规，说到：“我只为不给自己刮脸的人刮脸。” 那么这位理发师该不该给自己刮脸？
假如他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；假如他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。相互矛盾。
数学史上的三次危机对中国几乎无甚影响。在中国古代数学中无理数的产生极为自然，由开方产生的无理数，其操作运算就是它的自然解释；而极限的思想方法在中国数学中只是作为一种数学处理方法而已，丝毫没有什么危机。
西方数学的危机并不是自身形式的改变,而是人们对数学认识的改变；是人们对数学的理解发生了改变。
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