如果连续型随机变量的概率密度函数为
图1
从上面的定义可以看出，正态分布首先是对于连续型随机变量来说的，而学生的分数则应该是离散型随机变量，因为不可能有什么60.1，60.01，60.001分等等。
上图是一个正态分布曲线，假设横坐标代表分数，每一个蓝色柱状图和曲线有一个交点，则这个交点的纵坐标就是对应于这个分数的概率密度。但是，假设图中的分数为70，与纵坐标的交点为0.4，那么，“一个班的学生成绩应该服从正态分布”指的是考到70分的学生人数占总人数的40%，即概率的意思。因此：
“一个班的学生成绩应该服从正态分布”，首先这句话等于认为学生的分数是一个连续的实数，而且这个分数的范围是从负无穷到正无穷，这显然是不符合现实的。
其次，对于离散型随机变量来说，只有概率，不存在概率密度的概念，因此，“一个班的学生成绩应该服从正态分布”不但混肴了离散型和连续型随机变量的概念，而且混肴了概率和概率密度的概念。
对于概率密度服从正态分布的随机变量来说，其分布函数是对概率密度函数的积分：
由上图最后一个积分表达式
以及分布函数的定义
可以推导得出正态分布的概率分布函数为
其中
等于1，得到正态分布的分布函数F(x)如下图：
综上所述，学生成绩本来是一个离散型随机变量，但我们套用了连续型随机变量的正态分布概念；同时也混肴了概率和概率密度的含义。但实际工作中，这并不会带来什么太大的影响，只要我们把学生的成绩假想为是整个实数区间就行了。
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