古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉斯流派）对数（正整数）和对世界的思考是不可分割的。他们认为：万物皆数，数生万物，
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。无理数的发现打破了古希腊数学与哲学的和谐，产生了数学（也是哲学）的第一次危机. 第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后，才被彻底解决的。
而在中国，《道德经》说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”也就是说：道生混沌一气，一气分剖阴阳，为一生二；阴阳运化，而生天、地、人三才；三才既具，万物滋生，为三生万物。万物涵养阴阳，即负阴抱阳，万物在冲和之气(道气)中得到统一,将无形的道与有形的万物紧密地联系在一起。下面我们说一下无理数中的超级宝贝，数千年来仍然熠熠生辉。
一． 黄金分割
黄金分割第一次描述是在2300年前，在欧几里德的 《Elements》中是这样定义的:一条线段分割成两段，当长线段与短线段之比等于全线长与长线段之比，该比为黄金分割。其比值约为1.6180，但你自己算算，这个数字永远的除不尽，是个无限不循环小数。
让我们看一下0.618的美学实例吧:
人体: 躯干部分的宽与长之比肚脐、膝盖;
植物：相邻两叶在与茎垂直的平面上的投影的两夹角的比利于通风采光;
在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。
黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。
黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。
名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点
名画：充分利用了0.618
建筑: 如建筑物的特征点、门窗等
黄金分割点体现了美与实用，沟通了人与自然.
我们也听一听一点反对声音吧，“严格地说，黄金分割不可能纯在现实世界中，因为它是一个无理数，”斯坦福大学的数学教授Keith Devlin说，“你可以用更接近标准方面比率，比如iPad的3:2显示器或者是16:9的高清电视显示器。但是黄金分割就像圆周率一样，在现实世界中 不可能严格应用，总是会有差别的。”
按上面说法你可能会说我很迂腐当然，确实，1.6180不是很接近了吗?是的，要是有其他依据来说明为什么具体对象像帕台农神庙或蒙娜丽莎这么震撼 人心大概就不会这么想了。Devlin说，黄金分割与美学的关系主要来自两个人，其中一个是被错误引用，另外一个就是出来忽悠人的。第一个人是卢卡•帕西奥利，在1509年这位方济会修士写了一本名为《神圣比例》的书，另一个家伙是Adolf Zeising，“这家伙真想让人把他绑在火刑柱上。他把黄金分割推上了至高峰，”Devlin笑着说，“Zeising认为黄金分割是一个普遍规律，描 述了自然和艺术领域的美和完整性……黄金分割无处不在，所有结构、形式和比例、宇宙或者个人、有机或无机、声或光都能对上号。”
二． e与π，所代表的两种数学哲学体系
说到π我们直观印象就是圆的周长和直径的比值，数学上π是与圆弧相联系的，如我国祖冲之的研究的就是直线长度与圆弧长度的关系，从而计算π的值。从而π是源于几何。直线长度与圆周长度的几何关系，属于平面欧几里德几何体系的概念。
在高斯曲面几何理论中，用长度与弧度的代数方程（一元二次方程）确立了长度、弧度的协调定义，在数学上对π给出了几何解释和代数解释。
在迪卡尔建立直角坐标系概念统一了几何与代数理论后，π就成为三角函数的代数概念。后来π成为付立叶函数展开的概念，再演化为角频率的概念。
不管后来π的应用是如何广泛，它的哲学上的根还是几何学的。所以，π属于经验上升为抽象。
圆周率π最早提出来是在1748年，欧拉的代表作《无穷小分析引论》出版，在这本著作里，欧拉建议用符号“π”来表示圆周率，并且直接在里面使用了π。在欧拉的积极倡导下，π才成为了圆周率的代名词。我们永远无法知道派的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰•兰伯特于1768年证明. π 的小数展开是无穷无尽的，并且没有可预测的模式，它的前20位是3.141592653879323846...，虽然π的定义很简单，但是关于圆周率的计算却历经了几千年，都还没有算到尽头，最近的记录是今年，3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。
说到圆周率还有一个不得不提的人，就是我国的数学家祖冲之。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。正确位数达7位数，在那个时候可以说是非常精准，在之后的900多年都没人打破记录。
什么是“自然底数e”呢？在数学中是这样描述的：对于数列{ ( 1 1/n )^n }，当n趋于“正无穷时”该“数列”所取得的“极限”就是“e”，即：e = lim (1 1/n)^n。通过二项式展开，取其部分和，可得e的近似计算式e = 1 1 1/2! 1/3! 1/4! …… 1/n!，n越大，越接近“e”的真值。
“自然底数e”是数学史上第一个被严格证明的“超越数”，它不是随意构造的，而是“自然”存在的。有人说，这样一个神秘的“自然底数e”或许隐藏着“大自然”的普遍规律。
相对于π常数e 定位则不同，它是纯粹的代数概念（由最大整数N除于1到N所有整数的积再开N次方，取N无限大的极限），依赖于极限概念。从而也是的代数量。
用e 的虚数幂（e函数）来表达圆弧是代数学的专利，从而形成了另外的一个复数代数理论，与三角函数对应了起来。
但是，与圆弧几何理论不同，e 函数能简洁的表达双曲线，而基于π的三角函数则不能。
因此，代数的e 比圆弧的π等能表达复杂曲线，从而在微积分发明以后，代数理论一家独大。总的来说，e 属于抽象还原为经验。
无理数的定义说明它们不可以用有限个有理数来表示。微积分的无穷级数提供了无理数的有理数的无限和表示。例如:
数值计算
猜测：1.每隔10位数就会出现同样的数字;2. π的数字中必有e的前n位数字,
e的数字中必有π的前n位数字。
其实e和π在本质上是没有任何关系的。欧拉公式e^(iπ) 1=0，被称为数学中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五个元素还分别被比喻成射雕英雄传里的五大高手：东邪西毒南帝北丐中神通。这让很多人误以为，e和π本来就存在着某种关系。
在科学研究中，人们可以依据“e”来描述事物变化的周期：物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、复利的计算……，e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
包罗万象的大自然，似乎总是符合“e”的表达式(1 1/x)^x 的描述：当x趋近“无穷”时，它的结果在“无限变化”中逼近一个固定值“e”。
这个神秘的“自然底数”，似乎在向人们暗示着宇宙的形成、发展及衰亡的自然规律。在现代科学理论中，π和 e 几乎是形影不离，各自有自身的优势。“大自然”中有“自然率”，涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……
人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！
螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe ，
其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。
e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各•伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。
就以微积分的发现而论，牛顿是走的几何路线；莱布尼兹走的是代数路线。在两个科学大家争论谁是首发人时，在那个时代，牛顿是占有社会一般科学背景的优势的，而莱布尼兹只占有学院派优势。
这两条路线的影响是深远的。欧拉力学属于几何路线；拉格朗日、哈密尔顿属于代数路线。一般而言，从能量（标量）出发的理论几乎都是源于代数路线，把几何路线的结果作为解释性的。（教科书的标准用语，导数、X代数方程的几何意义是…）。
到了20世纪，爱因斯坦的相对论打破了代数理论的一统天下，把几何理论抽象代数化了。从而，科学研究的几何路线开始升温。
20世纪的科学研究中，很大的研究内容是熔合几何路线和代数路线，并最终在“流形”这个概念上达成了共识。目前科学理论界很难受的问题是：对热力学的温度、熵，给不出等价的几何概念；对量子力学的动量、能量也给不出等价的几何概念。（当然，相关的理论学家坚持他们已经给出了等价的几何解释，如统计物理，弦论，超弦理论）。
在哲学基本问题上，我们并不比前人（古人）高明多少。所以，如果有人声称他发现了π和 e 的等价性或是抽象关系，那么在数学理论上是了不起的（目前的国际理论研究是在为这个目标而努力）。但是，说发现了π和 e 有类似性，或是某种数学公式性的联系性，则基本上没有意义。这早就是广为应用的联系。
,
