不著一字，尽得风流。从毕达哥拉斯的数形图、赵爽弦图，到1977年美国发射的旨在寻觅茫茫太空中地球外文明的太空船上所携带的礼物，一幅幅看似简单的图形，却承载着丰富的信息。
阿贝尔，挪威数学家，在很多数学领域做出了开创性的工作。阿贝尔被视为挪威民族英雄，挪威皇宫有其一尊雕像，这是一个大无畏的青年形象。
阿贝尔从下面图形中得到应用广泛的阿贝尔恒等式。
拼图（或分割图形），即把所给图形以不同方式拼成新的图形。把图形面积用不同形式的代数式表示，若拼图前后图形面积相等，则相应代数式的值也相等。
拼图形象地揭示了代数式的关系，展示了数与形的联系，其直观作用体现为：验证代数等式、不等式、证明几何定理。
无言的图形，形象的直观，创造的源泉。著名数学家阿达玛写道："在创造阶段，科学家的思维载体往往是各种各样的，因人因事而异的符号、图标或其他形象，亦即此时的思维方式是形象的和直觉的，而不是逻辑的。"
1824年，22岁的挪威数学天才阿贝尔（1802一1829）证明了一般的五次及五次以上的一元方程不可能有根式解，终结了近300年的疑问。
根据几何图形的排列规律和构成特点，并结合图形的性质，构造方程组解拼图问题。 他也是椭圆函数领域的开拓者，阿贝尔函数的发现者。尽管阿贝尔成就极高，却在生前没有得到认可，他的生活非常贫困，去世时只有27岁。我们可体会华罗庚常说的"数无形时少直观，形少数时难入微"的要义。
众所周知，诺贝尔是没有数学奖的。很长时间以来，大家最熟悉的权威数学奖项可能是菲尔茨奖（Fields Medal），四年一次，用以表彰四十岁以下的杰出数学家。但其实，以挪威数学家 Niels Henrik Abel 命名的阿贝尔奖（Abel prize）与诺贝尔奖更接近，它每年评选一次，以奖励为数学界作出卓著贡献的开拓者。今年的阿贝尔奖表彰了两位领路人——Hillel Furstenberg （左）和 Gregory Margulis （右）。
"算两次"就是把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，为了得到一个方程，须把同一个量以两种不同的方法表示出来；对同一图形，从不同角度计算面积可推得， "算两次"原理也称"富比尼"（G.Fbini）原理。
波利亚在其论著中多次提到"你能用不同方法推导出结果吗？""试着换一个角度探索下去……"。这都属于"算两次"的原理。另外，更广义上讲，"算两次"也是对同一个问题，用两种及其以上的方法解答出来，即对同一问题解两次，得到相同的结果，体现为殊途同归，一题多解。
横看或竖看，从局部到整体，"算两次"方法在检验计算结果、布列方程、推导代数等式、几何证明等方面应用广泛。
1998年第23届国际数学家大会在德国的柏林召开，右图是德国邮政发行的纪念邮票，邮票的主图是"矩形求方"问题的一种解法，衬底图案和正纸上都是无理数π的小数形式.
1923年，有人提出如下问题：一个矩形能否被分割成一些大小不等的正方形？
1925年，数学家莫伦首先成功把一个33×32的矩形分割成9个小正方形（称9阶），这种矩形称为"完美矩形"。
1938年，剑桥大学的四位大学生也开始研究这类问题，他们把"完美矩形"与电路网络中的基尔霍夫定律联系起来，并借助于图论方法寻找，奠定了这个问题研究的理论基础.
"完美矩形"的存在，诱发人们去寻找完美正方形，1978年，荷兰数学家杜依维斯廷利用计算机找到21阶的完美正方形，并证明了：低于21阶的完美正方形并不存在。
1982年，杜伊维斯廷证明了：不存在低于24阶的混完美正方形。
1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21~25阶全部207个纯完美正方形。
至此，完美正方形的研究告一个段落，但是数学的研究依旧在继续……
1．（宁波中考题）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解析】：如图1，设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，
则l＝2（a 2b c），
根据图示，可得a＝b d，(1); b＝c d,(2)；
（1）﹣（2），可得：a﹣b＝b﹣c，∴2b＝a c，
∴l＝2（a 2b c）＝2×2（a c）＝4（a c），或l＝2（a 2b c）＝2×4b＝8b，
∴2（a c）＝1/2，4b＝1/2，
∵图形①的周长是2（a c），图形②的周长是4b，1/2的值一定，
∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．故选：A．
变式1.如图，一块呈平行四边形的菜地，被分割成3个菱形和2个平行四边形后仍是中心对称图形．若只知道原平行四边形菜地的周长，则不用测量就能知道分割后的图形的周长的图形标号为（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【解析】如图1，设图形②的长和宽分别是a、c，图形③的边长是b，图形①的边长是d，原来大平行四边形的周长是l，则l＝2（a 2b c），
根据图示，可得a＝b d，(1); b＝c d,(2)；
①﹣②，可得：a﹣b＝b﹣c，∴2b＝a c，
∴l＝2（a 2b c）＝2×2（a c）＝4（a c），或l＝2（a 2b c）＝2×4b＝8b，
∴2（a c）＝1/2，4b＝1/2，
∵图形②的周长是2（a c），图形③的周长是4b，1/2的值一定，
∴图形③②的周长是定值，不用测量就能知道，图形①的周长不用测量无法知道．
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为③②．故选：C．
变式1．（2019秋•鄞州区期末）如图，大长方形被分割成4个标号分别为（1）（2）（3）（4）的小正方形和5个小长方形，其中标号为（5）的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为（ ）
A．3a B．4a C．5a D．6a
【解析】：设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，
∵（1）（2）（3）（4）的小正方形，
∴（1）（2）的边长均为x，（3）（4）的边长均为y，
∴大长方形的边长可表示为2x y，2y x，
∴周长为2（2x y 2y x）＝6（x y），
∵（5）的小长方形的周长为a，∴2（x y）＝a，
∴6（x y）＝3a，故选：A．
变式2．（2019春•西湖区校级月考）一个大长方形按如图方式分割成十二个小长方形，且只有标为A，B，C，D的四个小长方形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道十二个小长方形中n个小长方形的周长，就一定能算出这个大长方形的面积，则n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：如图所示：∵A，B，C，D的四个小长方形为正方形，∴A和B的周长相等，C和D的周长相等．
设A的周长为：4a，则A的边长为a，A和B的周长相等；
设C的周长为：4b，则C的边长为b，C和D的周长相等；
设E的周长为：2b 2c．故大矩形的边长分别为：a a b b＝2a 2b，a b c，
故大矩形的面积为：2（a b）（a c），其中a，b，c都为已知数，故n的最小值是3．
故选：B．
变式3．如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．
【解析】：已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，
它们是x y，x 2y，x 3y，4y，x 7y，2x y，2x y z，4x 4y﹣z，4x 4y﹣2z及5x﹣2y z．
因矩形对边相等，
所以得11x 3y＝7x 16y﹣z及8x 8y﹣3z＝6x 5y z．
化简上述的两个方程得到z＝13y﹣4x，4z＝2x 3y，消去z得18x＝49y．
因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x＝49，y＝18，此时z＝38．
以x＝49，y＝18，z＝38代入矩形长、宽的表达式11x 3y及8x 8y﹣3z，
得长、宽分别为593和422．
此时得最小面积值是593×422＝250246．
3．（2019秋•吴兴区期末）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB＝a．小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关．
（1）根据小明的发现，用代数式表示阴影部分⑥的周长．
（2）阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形______（填编号）的边长有关，请计算说明．
【解析】：（1）阴影部分⑥的周长＝2AB＝2a．
（2）设②的边长是m．∴阴影部分⑤的周长是2（a﹣m），
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2a﹣2（a﹣m）＝2m．故答案为②．
变式1．已知7张如图1所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S．设BC＝t
（1）用a、b、t的代数式表示S
（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的关系是什么？
（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当x y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、y的值．
【解析】：（1）左上角阴影部分的长为AE＝t﹣a，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC＝t﹣4b，宽为a，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•BF＝3b（t﹣a）﹣a（t﹣4b）＝3bt﹣at ab；
（2）∵BC是变化的，S始终保持不变，
∴S＝t（3b﹣a） ab，3b﹣a＝0，a＝3b；
（3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积＝7ab a2x b2y，
由（2）知：a＝3b，
则当x y的值最小时，拼成的大的正方形的边长为7b，此时的x为3，y为1．
变式2．（新疆中考题）张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长y，宽为x，且y＞x．
（1）请你求出图1中y与x的函数关系式；
（2）求出图2中y与x的函数关系式；
（3）在图3中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；
（4）根据以上讨论完成下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？说出你的理由．
∴2x﹣y＝﹣1不成立，∴2x﹣y＝1，即y＝2x﹣1；
（3）交点坐标（3，5），实际意义解答不唯一
例①：瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图1，图2的图形；
例②：当瓷砖长为5，宽为3时，围成图2的正方形中的小正方形边长为1．
4．（2019秋•宿豫区期末）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为"算两次"原理，又称"富比尼原理"，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E是CD的中点，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度
数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
①"由形化数"：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
②"由数化形" ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③"数形转换" ：就是根据"数"与"形"既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
其间我们应充分考虑是否需要借助分类思想整体代换方式的简化应用，以此正确完满求解问题。
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