几何作为数学学习当中一块非常重要的学习内容,一直是中考必考的热点知识板块,无论是客观题(选择题和填空题)、解答题,都会有与几何相关的题型出现。

不过,由于几何知识定理众多,加上图形变化多端,证明方法灵活多变,蕴含丰富的数学思想方法,这给很多学生的几何学习带来困难和挑战。

数学学习最大的特点就是强调逻辑性和系统性,几何学习这样的特点更加明显。就像一个人没有掌握好三角形的相关知识,那么不可能学好几何,因为三角形是整个几何王国的重要基础,如四边形的对角线一连就是分成三角形进行解决。

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​因此,如果你想学好几何,想在几何内容中取得高分,那就必须完全掌握好三角形,特别是在即将到来的暑假,更要好好学习三角形。

三角形是整个初中数学的重点内容之一,也是各地中考命题的必考知识,对三角形三边关系、三角形内角和定理、勾股定理及其逆定理等知识的考查,通常以选择题、填空题、解答题的形式出现。像其中全等三角形的性质和判定、等腰三角形(等边三角形)的性质和判定、直角三角形的性质等知识一直是考查的重点,它通常还会和其他知识结合在一起,以解答题的形式出现。

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​三角形有关的几何综合内容,典型例题分析1:

某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

解:分三类情况讨论如下:

(1)如图1所示,原来的花圃为Rt△ABC,其中BC=6m,AC=8m,∠ACB=90°.由勾股定理易知AB=10m,将△ABC沿直线AC翻折180°后,得等腰三角形ABD,此时,AD=10m,CD=6m.故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12+10+10=32(m).

(2)如图2,因为BC=6m,CD=4m,所以BD=AB=10m,在Rt△ACD中,由勾股定理得AD=√(42 82)=4√5,此时,扩建后的等腰三角形花圃的周长为4√5+10+10=20+4√5(m).

(3)如图3,设△ABD中DA=DB,再设CD=xm,则DA=(x+6)m,在Rt△ACD中,由勾股定理得x2+82=(x+6)2,解得x=7/3.

∴扩建后等腰三角形花圃的周长=10+2(x+6)=80/3(m).

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​考点分析:

等腰三角形、直角三角形、勾设定理、分类思想、、设计类问题、分类思想、勾股定理、设计类问题

题干分析:

原题并没有给出图形,要根据题意画出符合题意的图形,画出图形后,可知本题实际上应三类情况讨论:一是将△ABC沿直线AC翻折180°后,得等腰三角形ABD,如图1;二是延长BC至点D,使CD=4,则BD=AB=10,得等腰三角形ABD,如图2;三是作斜边AB的中垂线交BC的延长线于点D,则DA=DB,得等腰三角形ABD,如图3.先作出符合条件的图形后,再根据勾股定理进行求解即可.

解题反思:

对于无附图几何问题,往往需要根据题意画出图形,结合已知条件及图形分析求解,这样便于寻找解题思路.

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​三角形有关的几何综合内容,典型例题分析2:

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②,点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.

(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;

(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;

(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.

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​考点分析:

旋转的性质;全等三角形的判定与性质;几何综合题。

题干分析:

(1)观察图形,根据全等三角形的判定定理,即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH;

(2)利用SAS即可判定△AF1C≌△D1H1C,则可得对应线段相等,,即可求得D1F1=AH1

(3)首先连接CG1,利用AAS即可证得△D1G1F1≌△AG1H1.然后可证得△CG1F1≌△CG1H1.又由平行线的性质即可求得答案.

解题反思:

此题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质,平行线的性质等知识.此题综合性较强,解题的关键是注意数形结合思想的应用,准确构造辅助线给解题会带来事半功倍的效果.

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​三角形有关的几何综合内容,典型例题分析3:

如图,已知直线y=﹣x/2 2与抛物线y=a (x 2)2相交于A、B两点,点A在y轴上,M为抛物线的顶点.

(1)请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式;

(2)若P为线段AB上一个动点(A、B两端点除外),连接PM,设线段PM的长为l,点P的横坐标为x,请求出l2与x之间的 函数关系,并直接写出自变量x的取值范围;

(3)在(2)的条件下,线段AB上是否存在点P,使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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​考点分析:

二次函数综合题;解一元二次方程-公式法;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;计算题。

题干分析:

(1)把x=0代入求出A的坐标,求出直线与抛物线的交点坐标即可;

(2)过点P作PD⊥x轴于点D,设P的坐标是(x,﹣x/2 2),根据勾股定理求出x即可;

(3)连接AM,求出AM,①当PM=PA时,根据勾股定理得到5x2/4 2x 8=x2 (﹣x/2 2﹣2)2,求出方程的解即可;同理②当PM=AM时,求出P的坐标;③当PA=AM时,求出P的坐标.

解题反思:

本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,解一元二次方程等知识点的理解和掌握,求出符合条件的所有情况是解此题的关键.

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​​三角形有关的几何综合内容,典型例题分析4:

如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2√3,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点发发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t≥0).

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;

(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存大,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.

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​考点分析:

相似三角形的判定与性质;根据实际问题列二次函数关系式;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;矩形的性质;解直角三角形

题干分析:

(1)当边FG恰好经过点C时,∠CFB=60°,BF=3﹣t,在Rt△CBF中,解直角三角形可求t的值;

(2)按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点,分为0≤t<1,1≤t<3,3≤t<4,4≤t<6四种情况,分别写出函数关系式;

(3)存在.当△AOH是等腰三角形时,分为AH=AO=3,HA=HO,OH=OA三种情况,分别画出图形,根据特殊三角形的性质,列方程求t的值.

解题反思:

本题考查了特殊三角形、矩形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形的有关知识.关键是根据特殊三角形的性质,分类讨论.

通过系统学习,掌握好三角形相关的知识定理和方法技巧,多反思多总结,这样可以帮助我们能够深层次的了解到三角形的应用和内在联系,熟练运用三角形去解决相关的几何综合问题,为后续的几何学习打好基础。

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