泰勒级数是关于函数在某个点的的级数展开。一维泰勒级数是关于一个点 的实函数的展开,由f(x)=a我们得到
如果a = 0,则扩展为著名的Maclaurin级数。
泰勒定理(实际上是格雷戈里首先发现的)指出,满足某些条件的任何函数都可以表示为泰勒级数
常见的一些泰勒级数包括
为了推导函数f(x)的泰勒级数,请注意f(x)的(n 1)导数f(n 1)从点x0到任意点x的积分为
其中f^(n) (x0)是f(x)在x0处的n阶导数,因此它是一个常数。现在第二次积分得到
f^(k) (x0)也是一个常数。第三次积分,
一直到n 1个积分,然后得到
重新排列,然后得到一维泰勒级数
这里,Rn是一个余数项,称为拉格朗日余项,由
重写重积分,然后给出
现在,根据函数g(x)的中值定理,
对于[x0,x]中的某个x*。因此,对n 1次积分就得到了结果
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