漫谈自然数的倒数和
自然数的倒数和,从吃货开始:
1.小明爱吃火腿肠,假设每天他有一根火腿肠,第一天他独享一根火腿肠,但从第二天开始,以后的每天他都会多一个朋友和他分享, 若每天按人数均分火腿肠请问他在以后的日子里,累计吃到的火腿肠会有10根之多吗?
到底能不能达到呢?乍一看是不行,因为小明平分到的火腿肠越来越少,最后趋近于0,怎么会达到10根呢?你觉得呢?是不是达到两根都悬?
好吧,我们来分析一下:
达到两根还是容易呢!因为小明第一天就吃了一根了,第二天会有半根,第三天会有1/3根,第四天会有1/4根,你看这时他吃了多少?
1 1/2 1/3 1/4=25/12,是不是大于2了?
那么他能不能吃到的总和多于3块呢?
如果一个数一个数地往后硬算,会很麻烦是不是?那么怎么来解决这个问题呢?事实上,数学家的思维不是一个个地累加,而是用估计的方式来完成就行了:
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 … 1/16=1 (1/2) (1/3 1/4) (1/5 1/6 1/7 1/8) (1/9 1/10 … 1/16)
>1 (1/2) (1/4)×2 (1/8)×4 (1/16)×8=3,
也就是说,至多到第16天,小明累计吃到的火腿肠就会超过3根.
那么按此算法,小明累计吃到了10根火腿肠的天数就不难得出:
把原数列的和:
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …
其项数由结合律进行分组:1 1 2 4 8 16 … m,则必有
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …>1 m/2,
要求1 M/2>10,只要m>18,即可,那就是说要达18个括号分组,那究竟至多是第几项呢?
这样来算:
=524 288,
哇!50万项之后呢?实际上,也可以对2的19次方进行如下估计:
如果没有计算器的话,还是下面的估计快些.
注意,这里是至多哟,因为是估算,说不定前面的某项已经达到了呢.那么我们能不能找到一个办法精确地算出是第几项呢?
这个可是因难呢,可以说到目前为止,也没有很好的办法达到精确的估计,不过有我们可以对这个问题的一般情形,可以找到较为精确的估计:
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …
通过绘制y=ln(1 x)和y=x的图象,不难发现x>ln(1 x)
则有
S=1 1/2 1/3 … 1/n
>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) ... ln(1 1/n)
=ln2 ln3/2 ln4/3 ... ln((n 1)/n)
=ln(2*3/2*4/4*...(n 1)/n)=ln(1 n),
实际上,还可以证明:
S=1 1/2 1/3 … 1/n<lnn 1,
可以看出,
ln(n 1)<1 1/2 1/3 … 1/n <lnn 1,
那就是说1 1/2 1/3 … 1/n与lnn接近,两者会不会有差别,差别有多大呢?
Euler第一个证明,即使n充分大,两者也不会相等,会差着一个常数C,这个常数是
C=0.57721566490153286060651209......
吊诡的是,直到今天,人们还没有弄清这个Euler常数C是什么样的数?它是无理数还是有理数不清楚(一般倾向认为C是无理数),更遑论代数数及超越数的判定了!
目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080次方.
上述问题被称为调和数列的求和,由此派生出来的Euler常数,在高等数学中甚有作用.
看下一个问题:
2.小红爱吃披萨饼,第一天她独享一只披萨,但以后每天来的人按天数的平方递增(即第n天来了n×n人), 若每天按人数均分披萨,问小红累计吃到的披萨会超过两只吗?
乍看一下,好象可以用调和数列求和的方法来解决小红的问题,果真是这样吗?
小红获得的蛋糕:
1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n) …> 1 [1/(2×2) 1/(3×3)] [1/(4×4) [1/(8×8)] …
我们立即发现,中括号内的项分母是不连续,无法象上面一样进行放缩估计,所以是行不通的!
实际上,我们尝试一下逐项计算:
记S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n),
则有
S(1)=1,S(2)= 1 1/(2×2)=5/4=1.25,S(3)= 1 1/(2×2) 1/(3×3) =49/36≈1.36,S(4)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4)≈1.42,
S(5)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) 1/(5×5)≈1.46,
什么感觉,好象是越往后增加的越慢,是不是?这说明,这个数列的和可能是有界的!
事实果真如此:
S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n)
<1 1/(1×2) 1/(2×3) 1/(3×4) … 1/[(n-1)×n]
=1 (1-1/2) (1/2-1/3) (1/3-1/4) … [1/(n-1)-1/n]
=2-1/n,
显然,无论n如何,2-1/n总小于2,那么可以看出,按这样的分法,小红永远吃到的披萨都不会多于两块!
问题来了,既然这里的S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n),单调有界,那么它必有极限,它的极限是多少呢?
事实上,我们可以通过级数或二重积分证明,这个极限值是
猜一猜这个发现是谁最先给出的?
猜到了吗,就是上面提到的那人大名鼎鼎的Euler,真是神一样的Euler!
平方倒数求和最早出现于17世纪意大利数学家蒙哥利(Mengoli P,1626一1686）的《算术求和新法》（1650).
无穷级数
是书中所论形数倒数求和问题中的一个特殊情形。
在发表于19年的论文“具有有限和的无穷级数的算术命题”中，瑞士著名数学家雅各．伯努利(Jacob.Bernoulli，1654一1705）部分重复了蒙哥利的无穷级数工作，在论文最后，伯努利称，尽管级数
的求和问题易如反掌，但奇怪的是，ζ（2）的和却难以求出．他说:”如果有谁解决了这个迄今让我们束手无策的唯题，并告知我们，我们将十分感激他．”
实际上，当时欧洲的一流数学家，如约翰．伯努利(Bernoulli J,1667-1748）及其子丹尼尔．伯努利(Bernoulli D,1700-1782）、哥德巴赫（Goldbach C 1690-1764）、莱布尼茨（Leibniz G W，1646-1716）、棣莫佛（Moivre A De，1667-1754）、斯特林(Stirling J,1692-1770）等都未能成功解决这一难题，其中哥德巴赫在与丹尼尔的通信（1729）中给出和的上、下限1．644和1．645；斯特林在其《微分法》中给出近似值
1.644934066.
瑞士大数学家欧拉(Euler L，1707-1783〕最早于1735年解决了这个所谓的“巴塞尔难题”，这是他年轻时期最著名的成果之一．但证明不是很完善,及至后来二重积分及级数的发展,才最终完善了这个极限的证明.
由于π是超越数(林德曼定理),故ζ(2)也是超越数.
再提一个问题:
3.小英爱吃蛋糕, 第一天她独享一只蛋糕,但以后每天来的人按天数的立方递增(即第n天来了n×n×n人),若每天按人数均分蛋糕,问小红累计吃到的披萨会超过一只吗?
乍看一下,这个问题也第二个问题相同,但有没有不同的的地方呢?
小英获得的蛋糕:
按上述第二种思路,证明数列:
单调有界没有问题,存在极限也是显然的,只是至今为止,我们并不知道这个极限的精确表达式,是不是与已知的超越数,比如π,e,甚至C有关,现在统统不知道!
这个问题的解决,估计非常困难!
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