每两个有理数之间都有几个无理数(任意两个有理数之间必有无穷多个有理数)(1)

(许兴华数学)

现在,我们给出一个非常奇妙的结论:

【定理1】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。

你相信吗?请你认真考虑一下:你是否能够证明呢?如何证明这个奇妙的结论呢?

每两个有理数之间都有几个无理数(任意两个有理数之间必有无穷多个有理数)(2)

【重要知识点的准备】

1、有理数之间进行有限次的加、减、乘、除的四则混合运算(作除法时除数不能为零)的结果仍然为有理数。任意一个非零有理数乘以一个无理数必定是无理数。

2、数学归纳法原理:设有一个与自然数n有关的命题p(n),(n=1,2,3,4,......),如果

(1)当n=1时命题p(1)成立;

(2)假设n=k(k≥1)时命题p(k)成立,则当n=k 1时命题p(K 1)也成立.

那么综合(1)(2)知,该命题p(n)对于任意的自然数n(n≥1)都成立。

有了以上两个重要的结论后,我们现在就可以来证明【定理1】了。

【证明】设m,p是有理数,且m<p,我们设法在区间(m,p)内找出无穷多个有理数来。

其实我们可以用构造性的方法来找出,请看下图(无论m,p距离靠得多近,为了方便大家理解问题,在画图的时候我们都可以把m,p之间的距离稍为放大一些,让大家看得更清楚):

每两个有理数之间都有几个无理数(任意两个有理数之间必有无穷多个有理数)(3)

由上面的证明,我们还非常容易得到下面另外的一个推论:

【定理2】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个无理数。

大家可以大胆地试一试,能否证明此定理呢?

每两个有理数之间都有几个无理数(任意两个有理数之间必有无穷多个有理数)(4)

【定理2的证明】设m,p是有理数,且m<p,我们设法在区间(m,p)内找出无穷多个无理数来。

每两个有理数之间都有几个无理数(任意两个有理数之间必有无穷多个有理数)(5)

这两个定理告诉我们:任意两个不同的有理数之间一定有无数多个有理数;同时任意两个不同的有理数之间一定存在着无数多个无理数。这说明:无理数与有理数之间是“稠密”地存在着的。在数轴上谁也离不开谁了:无理数是与有理数相伴相生,紧紧相依,不离不弃的。哈哈哈!大家觉得有趣吗?

每两个有理数之间都有几个无理数(任意两个有理数之间必有无穷多个有理数)(6)

(许兴华数学)

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