三年级学生初学“周长”的重点是什么
2018年12月1日星期六
本文主要续写前文《“运动场”和“跑道”是一回事吗》中的题（3）的辨析。
题（3）如下：
“
（3）一个封闭图形上所有线段长度的总和就是这个图形的周长。 （ ）
”
此题依然出现了“对”与“错”的分歧。进一步对主张“错”的原因进行梳理，又可分为两类意见。为了下文叙述之方便，以“对1”、“错1”、“错2”指代三种观点，指代词不暗示任一观点本身，因为每种观点都是有价值的。本文亦不追求读者划一地接受其中某种观点，更期望给予读者取舍之帮助。
一“错1”方认为此题的错误在于“线段”一词，若是改为“边”，便是正确的。如下：
（3）一个封闭图形上所有边的长度的总和就是这个图形的周长。 （ ）
这样做的原因大抵有二：一是封闭图形的“边”不见得必是“直的”线段，也可以是规律的“弧线”，甚或是散漫的“曲线”；二是“边”这个词暗含了“外围的”、“一周的”意思，紧扣“周长”的概念：封闭图形一周的长度，是它们的周长。
多种多样的封闭图形
这种观点将题（3）的考察重点引向“封闭图形的辨识”。
二“对1”方则认为：题（3）的考察重点应当是让学生感悟“周长”的最基本的、最朴素的算法应当来自于“周长”概念本身，也即“单纯地用加法”就可以完成计算。至于所谓“长方形、正方形的周长计算公式”：
长方形和正方形的周长计算公式
只不过是窄范围内的凑巧总结罢了，比如应用了“对边相等”、“四边相等”这样的恰如其分的特点，大多情况并不见得如此。这种观点将题目的关键词锁定在“所有”、“长度的总和”上。
长远地来看，有价值的“周长计算公式”当属“圆和椭圆的周长计算公式”。如下：
圆和椭圆的周长计算公式
（其中：a是椭圆的半长轴，b是椭圆的半短轴）
显然，这是基于“曲线”的规律性和“曲线”的测量困难。两条公式中都出现了神奇的圆周率π，且不论其是个什么东西，单看其作用就够让人惊讶地“大吃几斤”的：π沟通了“规律曲线”和“直线段”之间的关系，使得不便测量的曲线问题变为可以方便测量的直线段，比如圆的直径、椭圆的长轴和短轴，突显了“计算”的重要地位，因为“长度”单靠“测量”去完成，是存在短板的。一个极简单的例子是：地月距离就别指望用“尺子测量”出来。
“长方形和正方形的周长计算公式”的价值微乎其微，其只不过是基于“基础加法”的一种算法的简化和优化。这样的优化不具备更广阔的生命力，且仍会使小学生在一定阶段里付出一些“代价”。令人头痛的是，用乘法优化加法后，会掩盖 “一维长度用加法，二维面积用两个长度作乘法”的计算本质。常见的错误是：使小学生混淆“周长”和“面积”的计算，因为二者都有“乘法”参与，哪怕将歌诀“周长一条线，面积一整片”背得滚瓜烂熟，依然会执着地出现错误。以至于我突发奇想：“周长”就彻头彻尾、老老实实地用加法计算吧，“算法优化、升级”一事，烦够了，或许就会自我开窍。
（重要程度★★★★）
以下是两个真实事例。
一是计算一个边长为4厘米的正方形的周长。如果用：4×4，许多学生并不能回答出两个“4”的不同意义，比如：一个4表示“正方形每条边的长度是4厘米”，另一个4表示“有4条相同的边”。或许，他们在“思维”上是理解的，但就是不会准确地组织语言，卡在了语言关上。但是，“我会想，只是不会说”、“我明白，只是说不出”，听来似乎更像是笑话。如果改用：4＋4＋4＋4，提问“4个加数表示的意义相同吗？”、“4代表什么？”，则回答效果好了许多。但我并没有进行“独立、分组教育实验”，或许“先问乘法后问加法”的提问方式亦带来了许多干扰和答题经验暗示，准确效果难以量化。“同水平”学生样本群体的选取、初学阶段的时间点的把握、多次实验等都是可以想到的困难。
二是一个罕见的个例，但对我触动极深。一次家庭作业中，我布置了一道“测量并计算周长”的题，其中有一个是三角形。第二天，我发现一个学生唯独把这个“三角形”的周长没做，询问得到的答案是：“我妈妈说三角形没有周长计算公式，不能套公式计算。”这便是对“生搬硬套”的生动诠释！亦让我坚信：小学生初学“周长”的重点在于理解“周长”的概念，牢固树立“一周长度之和”的核心理念，而不是将基于优化算法的公式，用应试训练的手段做到极致，颠倒本末，喧宾夺主。
（重要程度★★★★★）
三“错2”方的观点最让人迷惑。这种观点认为：题（3）的错误出在方位词“上”上。（呵呵，“上上”是谁？多别扭的读法！）依据是细心的“错2”方老师认为，这个方位词“上”会加剧小学生对下面题型的误解。
甘肃文化出版社人教三年级数学上册配套练习：数周长
我称呼题中的图为“俄罗斯方块”。所谓“误解”是指学生错误地将“俄罗斯方块”内部的横竖边线也数了进去，因为“上”字，似乎既包含了“四周”、“边上”，又包含了“内部”、“里面”。这种观点最让人称赞的是：观察问题的角度由“教材视角”（或“本本视角”）转向“学生视角”。为师者“眼中有人”，设身处地地为学生着想，而不是高高在上，口若悬河，自我陶醉。
不过，我对这个观点还是有点排斥，如果这样纠结字眼，数学会变得越发让人“恐怖”。
但，几番语塞。
思索再三，憋出了两条理由：
1.数学当中的方位词使用并非如推想中的那般精确，比如：“向前一位进1”的说法，更准确地应当是“向高一位进1”，但教材中都认为是对的；
2.定义一个“封闭图形”，是不用考虑图形内部的边线的。
（
附：
“上是一个汉字，拼音为shàng。下面的一长横代表水平线，上面的一短横是指示性符号，表示位置在水平线以上这一概念，属指事造字方法。
上作名词时，指事，解释为高处；作动词时，指垂直的动作，往上；做形容词时，指高贵的，级别高的。”
——来源于“上_百度百科”
）
这两条理由也是令人“恐怖”的。理由1将讨论延伸到“上”字的词性、词义，干脆走进了语文学科；理由2又将“周长”的概念定义延伸至“封闭图形”的概念定义。
（
再附：
“定义（Definition），原指对事物做出的明确价值描述。
现代定义：对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；或是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义；被定义的事件或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项。
一般地，能清楚的规定某一名称或术语的概念叫做该名称或术语的定义。”
——来源于“定义_百度百科”
）
“上”字的语文引申就此打住，那么什么是数学概念“封闭图形”的定义呢？
（
再再附：
“封闭图形是指在所在维度中处于封闭状态的图形，如平面图形中的三角形、正方形等；在三维空间中的球体、正方体等。
封闭图形是由n（n为正整数）条线段或弧组成的闭合图形。
因此没有被封闭的图形（如在三维空间中的二面角）并不能被认为是封闭图形。
然而在更高的维度中，图形的封闭会被轻易突破。比如说在画上的一个圆圈可以轻易圈住画中人，但是这样的禁锢对我们而言不存在，因为处于高维度的我们可以轻易跨出画在低维度上的圈圈。”
——来源于“封闭图形_百度百科”
）
封闭图形的定义中的关键词是“所处维度中的闭合图形”。“闭合”一词在平面中的形象理解是：将平面“圈出”或“挖出”了一个个的“窟窿”，而不论“窟窿”的中间曾经“补”了多少刀！
（重要程度★★★★）
下面的环形又让我 “纠结”了许久……
圆环
一方面：圆环的周长=外圆的周长 内圆的周长=2πR 2πr=2π(R r)；
另一方面：圆环使得“封闭图形一周的长度，是它们的周长”这句话当中的“一周”出现了矛盾，譬如有如下讨论：
圆环的周长磨课
我“纠结”不已！
最终，我以“平面内两个封闭图形的关系”来融合这个矛盾。以下简言之，因为，此时足见距离“走火入魔”已不远矣……
1.独立的两个封闭图形：
2.两个封闭图形的点连接：
3.两个封闭图形的线连接：
对于这种“线连接”，人教版三年级数学上册是出现过相应题型的：
人教版三年级数学上册第88页第10题
4.两个封闭图形的交叉：
5.两个封闭图形的包含：
圆环同5。这种关系也被称为封闭图形的“镶嵌”。
写在最后由一个简单的题出发，经历了讨论、辩驳、查阅、参考，引申出了众多的剧情，可谓“一去二三里”！幸好，回来了，没有丢了自己。
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