作者 | 吴大任
来源 | 《数学通报》，1992年第9期
上篇：博洽内容，独特风格——介绍克莱因：《高观点下的初等数学》
《高观点下的初等数学》是本世纪初叶F·克莱因所作的讲演，后来分为三卷陆续出版，前两卷有英译本，我曾以“博洽内容，独特风格”为标题，在本刊(《数学通报》1989年第六期)加以介绍，当时还没有出版第三卷中译本的打算，第三卷副标题为《精确数学与近似数学》，似无英译本，现由我和陈
（受鸟）据德文版
（1928年出版，1968年重印）
译成中文本文，也将由湖北人民出版社出版，本文拟对它作简介，由于全书三卷内容和精神有其一贯性，本文就沿用前文的标题，当然，本文着重介绍第三卷的特殊性。
把数学科学作为整体向听众介绍，是全部讲演的基本指导思想，本卷把数学科学明确分为精确数学和近似数学两部分，着重阐明这两部分的密切关系，相互作用及其区别。
克莱因认为，近似数学是数学在处理实际问题中的运用，而精确数学则是近似数学赖以建立的坚实框架。他感到不安的是，在他那个年代，数学的这两部分已明显地被割裂了，出现了理论家和实用家的对立，一方面，纯粹数学家的兴趣和思路同数学应用中所采用的方法离得非常远；另一方面，应用数学家在运用近似数学时又往往忽视理论的指导作用，不求助于精确数学来推动近似数学前进。他认为，这种情况既损害数学人才的培养，又损害数学科学本身。他希望这部分讲演将有助于消除这种分歧，使数学重新成为完整而和谐的科学，并作为一个有机整体来发挥作用。因此，他在严格区分这两部分数学的同时，十分具体地阐明它们之间的相互作用，特别注意批判当时在这个问题上流行的各种错误观点和错误做法，指出当时数学教材中的有关缺点。
克莱因提醒人们，不要误解近似数学这个名称，从而降低它的地位，他指出，它不是“近似的数学”而是“关于近似关系的精确数学”，他认为，精确数学和近似数学之间，一个带根本性的区别在于：在精确数学里，准确性是绝对的，而在经验或实用领域，准确性总是有限度的，他以牛顿引力定律为例来说明，即使是经过观测证实为普遍适用的自然定律，其准确性也是有限度的，在讨论近似关系时，他处处强调误差估计，即确定误差的幅度；在论述数学应用时，强调要对带有不准确性的观测数据，通过如最小二乘法来调整数据，以得到较满意的结果。
本卷侧重几何内容，使用的是解析方法。克莱因认为，在精确数学和近似数学的分野中，几何相应地分为精确几何和实用几何，它们依次处理理想图形和经验图形处理的方法，可以采用以几何公理为基础的综合法，或以实数理论为基础的解析法(实数概念本质上也代表一种公理体系)。本卷采用解析法，就首先要介绍实数概念，克莱因通过上进制数来阐明实数概念，然后通过实数和直线上点的一一对应关系来建立几何的解析法，他还用解析法来说明点集论的一些基本概念和定理，并广泛地运用它们进行论证，精确数学中的结论之所以有绝对的准确性，就因为它们是由假定为绝对正确的公理或实数概念出发，通过严格的逻辑推理导出来的。
在这里，可以举一些例来说明经验图形和理想图形的区别。作为经验图形(例如用某种工具在纸上作图)，点是一个“斑点”，是有一定幅度的，直线是有一定宽度的，平面上两条不平行的直线相交于(大体上说)一个平行四边形。作为理想图形，点没有幅度，直线没有宽度，相交直线有一个唯一的公共点。又如精确数学领域，单值连续函数y=f(x)在直角坐标系里的图是一条理想曲线；对应于某个节里的每一点，有完全确定的一个纵标y。但在经验领域，例如记录气温随着时间而变化的曲线，就总有一定宽度，因而只能代表克莱因所称的“函数带”y=f(x)土ε，其中ε可能还是x的函数，其绝对值lεl不超过一定的正值。
克莱因通过大量的事例来揭示感觉和几何理论的关系。一方面，他充分肯定感觉对理论的重大作用。首先，他认为，几何公理或实数概念本身都来自感觉和人的创造，其次，人们可以从经验图形感觉到它们的某些属性，从而对理想图形加以相应的条件限制，使它们具有类似的属性。例如人们感觉到经验曲线是连续的，有方向和曲率的，为了使理想曲线具有类似属性，就要通过严格定义，规定哪些用以表示它们的函数是连续的，有一阶和二阶导数的。又如人们感觉到，平面上一条闭的简单经验曲线要把平面分为两个区域，一里一外，与此相应，人们就证明，一条(作为圆的双向单值连续象的)闭若当曲线把平面分隔为两个连通的域。在证明中，经验图形往往还能提供论证的方向，甚至某些细节，此外，感觉还一般地引导人们做逻辑思维，是精确几何新发现的源泉，但另一方面，克莱因又指出感觉的局限性，他认为理想图形是不可感知的，例如，人们可以严格界定一个没有端点的(一维)节，即开节，一个在某个节上处处稠密却不填满它的点集(如节上代表有理数的点的集合)，而这些是超越人们的感觉的。更为重要的是，论证理想图形具有某些属性时，必须以几何公理或实数概念为基础，通过严格定义和逻辑推理，而不能纯粹依赖直观。
应当如何对待近似数学和精确数学的矛盾，数学中的感性认识和理性认识的矛盾呢？克莱因主张，对近似数学，要按其本来面目来理解和对待，同时又毫不躲避任何在精确数学意义下的理想化，但是，由于精确数学在相当大的程度上不受感觉和经验的制约，克莱因进一步要求人们从精确数学中区分出那些对应用没有直接意义的东西，如无理数，如有公度与无公度的区别，如解析图形等等，至于三等分角等所谓“几何三大问题”，则完全属于精确数学，不过，克莱因并不主张在精确数学领域里的绝对自由，他既承认在那个领域里人们有充分自由去提出问题和研究问题，但却指出，只有那些直接或间接地联系着事物本质的课题才是宜于研究的。总之，要从数学科学的整体观点来加以鉴别。他甚至说，谁倡议自由，谁就要承担责任。
由以上介绍可以看出，克莱因对待精确数学和近似数学的态度是极其严肃而鲜明的。但对于数学教育中如何处理这个问题，他却是实事求是的，他认为，对初学者讲课总要采取一定程度上非逻辑的观点，但当听讲者的理解能力已较成熟时，就不能回避精确数学和近似数学的界限。
和前两卷一脉相承，本卷所论述的内容侧重在一般教材中通常忽略的精微处以及较少涉及的一些方面。例如关于函数的基本概念，着重讨论了一元函数四个广义导数(Deriviele)相等是导数存在的条件；分析了二元函数连续的定义，指出了径向连续还不能保证连续；深入阐述了偏导次序可颠倒的条件等等，在讨论这些问题时，都举了具体的反例，为了说明在精确数学领域，可以通过适当的定义以得到超越人们感觉的曲线(函数)，比较详细地介绍了连续而无处可微的外尔斯特拉斯函数以及作为闭节的单值连续象而完全覆盖一个区域的皮亚诺曲线。在函数的近似表示方面，论述了关于一元函数的拉格朗日插值公式和三角级数插值法，指出他们依次同泰勒公式和泰勒级数以及有尽和无尽傅里叶级数的关系，并由三角函数通过拉普拉斯方程过渡到用球函数来近似表示球面的函数。本卷还结合对若干个圆的反演所产生的几何变换群(反演群)得到一些值得注意的点集，如一个无处稠密但自稠密，完备，并具有连续统的势的点集，以及一条处处有切线但非解析的曲线。这些反演群最早在静电研究中就出现，和自守函数理论更密切地联系着，克莱因通过这些事实来说明他这样的一个观点：对精确数学课题进行深入研究中不可避免地要遇到点集论中的问题。
关于实用几何，克莱因认为它有两个方面的内容，即测量学和几何作图(包括模型制作)。测量学又可以分为较小区域里的测量和大地测量，他认为在测量学中，近似数学的思想发挥得最清楚而彻底，在几何作图方面，克莱因结合图象和模型介绍了平面曲线，挠曲线(即不在一个平面上的空间曲线)以及曲面的一些基本概念，关于平面无奇点n次代数曲线，他用生动而形象化的方法证明了，曲线的实拐点数加上孤立(实)二重切线数的两倍等于n(n-2)。关于三次挠曲线，论述了它的切线曲面和从不同投射中心所作的投射锥面以及它们的平面截线。关于代数曲面，论述了无奇点三次曲面的五种类型和各类型曲面上27条直线的虚实构成，指出这种分类和拓朴分类刚好吻合。
本卷有些内容较深入或复杂，但由于采取了由简而繁，由具体到一般，逐步深入的论述方式，又突出几何形象，充分利用反例，就大大减轻了学习的困难，克莱因随时揭露不同内容之间的本质联系，把严格的科学精神和灵活多彩的论证方法巧妙地结合起来，再次显示了他对数学整体的融会贯通，居高临下的洞察能力以及深入浅出的表达艺术。
尽管半个多世纪过去了，克莱因的基本观点对我们仍富有启发性，本卷的许多内容仍有参考价值，从数学教育角度看，尤其如此。不过，时至今日，精确数学和近似数学都已经历了巨大的发展，它们的关系也随之变化。我不放弃曾提出的希望：有人能写出一套现代化的《高观点下的初等数学》，这当然是一项艰巨的工作，在这里，我只想谈一个问题，作为“塑造几何形象的造型艺术大师”(见本卷 第三版前言)的克莱因在讲演中充分利用了几何图片和模型，就在本书第三卷原文版出版之际，即1928年，南开大学数学系在姜立夫先生主持下，也从哥廷根购置了约二十件精美的模型，从事几何绘图和模型制作是不容易的，要有学识，想象力，技巧以及不畏繁琐的献身精神。现在，电子计算机为这项工作提供了极大便利和新的无限广阔的可能性。特别是不难制作出动画片来表现图形的连续变形，或从一种形态转化为另一种形态(例如本卷所描述的把曲线和曲面上的奇点化解以得到无奇点的图形)，改静态表现为动态，这对儿何教学和研究将起很大作用。
在本卷最后简短的结束语中，克莱因强调了向前贤学习的必要性，同时又强调了独立思考；他忠告人们不要仅仅从书本学到的东西前进，因为那样就会产生所谓学院式的体系，他号召：“保持一流大师的遗风：回到固有的生动活泼的思考，回到自然。”这句话很值得我们深思。但我想，在数学已深入到社会科学和社会生活的今天，若在这句话后面添上“深入社会”四个字，是不是更完备些？
《高观点下的初等数学》（全三卷）
作者：[德]F·克莱因（Felix Kline）
出版社：华东师范大学出版社
出版时间：2020-11
